Exponentialgl. + Substitution < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 So 14.06.2009 | | Autor: | lalalove |
halo,
hab hier wieder eine neue aufgabe, bei der ich aber den satz d. vieta irgendwie nicht anwenden kann, da die Vorzeichen 'komisch' sind.
[mm] 4^{x} [/mm] + [mm] 2^{x} [/mm] = 6
u² + u = 6 ||-6
u² + u -6 = 0
Substitution muss aber sein. (Aufgabenstellung:
Löse durch Substitution)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 14.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast [mm] u²+\green{1}u-6=0
[/mm]
Nach dem  Satz von Vieta gilt:
$ p = [mm] -(x_1+x_2) [/mm] $ und $ [mm] q=x_1\cdot{}x_2 [/mm] $
Also hier: [mm] 1=-(x_{1}+x_{2}) [/mm] und [mm] -6=x_{1}x_{2}
[/mm]
Also löse folgendes Gleichungssystem:
[mm] \vmat{-x_{1}-x_{2}=1\\x_{1}x_{2}=-6}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 14.06.2009 | | Autor: | lalalove |
um den satz d. veta anwenden zu können,..
müsste dann nicht eine binomische formel vorliegen?
bzw. die 1.bin. oda die 2. ?
bei der aufgabe ist es aber keine von den zwei,
denn die vorzeichen folge hier ist + und dann -
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Den Satz von Vieta hat Marius dir genannt und sogar die nächsten Schritte hingeschrieben.
In Worten gesagt:
Bei einer quadratischen Gleichung mit zwei Lösungen kannst du die beiden Lösungen an der Gleichung selbst "erkennen":
An diesem Beispiel erklärt:
[mm]x^2 + x - 6 = 0[/mm]
Das Produkt der beiden Lösungen muss -6 ergeben, die Summe der beiden ergibt den negativen Vorfaktor vor dem x, also hier -1.
Wenn du da eine binomische Formel stehen hast, kannst du die Lösung natürlich auch direkt angeben, aber das hat dann nicht wirklich was mit dem Satz von Vieta zu tun.
Außerdem wird mit diesem Satz eigentlich nicht gerechnet, denn wenn du das Gleichungssystem von Marius formal löst, bekommst du genau die gleiche quadratische Gleichung raus, die du am Anfang stehen hast.
Sinnvoll ist der Satz, wenn du weißt, dass es ganzzahlige Lösungen gibt (wie hier bei dir), ansonsten bleibt dir nur der Griff zur pq-Formel oder wenn das nicht geht, zur quadratischen Ergänzung. Der Satz von Vieta ist kein Allheilmittel bei quadratischen Gleichungen. Hier passt er allerdings ganz gut - fang einfach mal beim Produkt an, das ja -6 ergeben soll und probiere da ganzzahlige Möglichkeiten durch (so viele sind es ja nicht) und prüfe immer als erstes, ob das mit der Summe hinhaut. Wenn ja, dann müssen das die Lösungen der Gleichung sein, aber das kannst du ja dann auch zur Sicherheit nochmal nachprüfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 So 14.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Ach ja: Ich habe die Diskussion zu einer neuen Aufgabe mal in einem neuen Thread eröffnet.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 14.06.2009 | | Autor: | lalalove |
[mm] 7^{x} [/mm] + 4 = 21* [mm] 7^{-x} [/mm]
wenn ich jetzt substituieren würde, dann [mm] 7^{x} [/mm] = u
dann habe ich:
u + 4 = 21 * ..was kommt denn jetzt hier hin?
..da oben ist noch ein Minus ( [mm] 7^{-x} [/mm] )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 So 14.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schreib um:
[mm] 7^{x}+4=21*7^{-x}
[/mm]
[mm] \gdw7^{x}+4=21*\bruch{1}{7^{x}} [/mm]
[mm] \gdw (7^{x}+4)*7^{x}=21
[/mm]
[mm] \gdw \left(7^{x}\right)^{2}+4*7^{x}=21
[/mm]
[mm] \gdw\left(7^{x}\right)^{2}+4*7^{x}-21=0
[/mm]
Jetzt Substituiere [mm] z:=7^{x}
[/mm]
Marius
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