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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 So 27.01.2008 | | Autor: | punix |
| Aufgabe | Die Funktion f ist gegeben durch [mm] f(x)=(x^{2}+2x)*e^{-x}, [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
a)Untersuche den Graphen von f auf Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und Verhalten für betragsgroße x.
b)Zeige, dass der Graph von f und die 1. Achse zwei Flächen gleichen Flächeninhalts einschließen.
c)Für k [mm] \in \IR [/mm] ist die Funktionenschar fk gegeben durch [mm] f_{k}(x)=(x^{2}+2x+k)*e^{-x}, [/mm] x [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeige: [mm] f_{k} [/mm] besitzt genauso dann Extrema, wenn k<2 ist.
d) Zeige, dass für k<2 sowohl die Hochpunkte als auch die Tiefpunkte aller Graphen zu [mm] f_{k} [/mm] aus Teilaufgabe c) auf dem Graphen einer Funktion g liegen. Bestimme g(x). |
Momentan wiederhole ich dieses Thema für das Abitur. Allerdings weiß ich grad gar nicht wie ich die Funktion ableiten soll.
Ich denke es reicht, wenn ich erstmal einen Tipp bekomme, wie ich die Funtkion ableiten soll.
Gruß Pascal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 So 27.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Mit Produktregel ableiten!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 27.01.2008 | | Autor: | punix |
Also für die Ableitungen habe ich folgende Ergebnisse:
[mm] f'(x)=e^{-x}(x^{2}-2)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}(2x-x^{2}+2)
[/mm]
[mm] f'''(x)=e^{-x}(-4x+x^{2})
[/mm]
Ist das richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 27.01.2008 | | Autor: | punix |
Aber ist das nicht das gleiche?
Und wie siehts mit dem Rest der Ableitungen aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 So 27.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, natürlich ists nicht dasselbe, das negative eines Ausdruck ist nie dasselbe wie der Ausdruck, ausser +0=-0
die weiteren Ableitungen haben dadurch Folgefehler. die wohl meist daran liegen dass du beim ableiten von [mm] e^{-x} [/mm] das *{-1} vergessen hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 27.01.2008 | | Autor: | punix |
Also dann
[mm] f''(x)=e^{x}(-2x-x^{2}+2)
[/mm]
[mm] f'''(x)=e^{x}(x^{2}-4)
[/mm]
Wenn nicht, was dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 27.01.2008 | | Autor: | abakus |
Falls f''(x) stimmt (habe nicht den gesamten Diskussionsstrang verfolgt), ist f'''(x) falsch.
Ableitung von [mm] (u*v)=e^x*(-2x-x^2+2):
[/mm]
u(x)= [mm] e^x [/mm] --> [mm] u'(x)=e^x
[/mm]
v(x)= [mm] -2x-x^2+2 [/mm] ---> v'(x)=-2-2x
u'v+uv'= [mm] e^x*(-2x-x^2+2)+e^x(-2-2x) [/mm]
[mm] =e^x*((-2x-x^2+2)+(-2-2x) [/mm] )
[mm] =e^x*(-2x-x^2+2-2-2x) [/mm] )
[mm] =e^x*(-x^2-4x [/mm] )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mo 28.01.2008 | | Autor: | punix |
Tut mir leid, ich hatte einen Tippfehler, es sollte [mm] e^{-x} [/mm] anstatt [mm] e^{x} [/mm] heißen.
Ist das denn nun richtig?
[mm] f''(x)=e^{-x}(-2x-x^{2}+2)
[/mm]
[mm] f'''(x)=e^{-x}(x^{2}-4)
[/mm]
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Hi, punix,
also:
f(x) = [mm] (x^{2}+2x)*e^{-x}
[/mm]
f'(x) = [mm] (-x^{2}+2)*e^{-x} [/mm] (vgl. Loddar!)
f''(x) = [mm] (x^{2}-2x-2)*e^{-x}
[/mm]
f'''(x) = [mm] (-x^{2}+4x)*e^{-x}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Mo 28.01.2008 | | Autor: | punix |
Ich habs noch einmal nachgerechnet und bin zu selbigem Ergebnis gekommen.
Ich werde den Rest der Aufgabe nun machen und hier mal reinstellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 29.01.2008 | | Autor: | punix |
Also ich habe die Aufgabe mal gerechnet, aber irgendwie finde ich meine Lösung merkwürdig :P Aber hier mal meine Lösung:
Nullstellen:
[mm] N_{1}(0/0) [/mm] & [mm] N_{2}(-2/0)
[/mm]
Extremstellen:
Da habe ich 2 Hochpunkte:
[mm] HP_{1}(-0,69/-3,7) [/mm] & [mm] HP_{2}(-4,78/-3,86)
[/mm]
Wendestellen:
Auch wieder 2:
[mm] WP_{1}(2,73/1,2) [/mm] & [mm] WP_{2}(-0,73/7,17)
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo,
> Also ich habe die Aufgabe mal gerechnet, aber irgendwie
> finde ich meine Lösung merkwürdig :P Aber hier mal meine
> Lösung:
>
> Nullstellen:
> [mm]N_{1}(0/0)[/mm] & [mm]N_{2}(-2/0)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Extremstellen:
> Da habe ich 2 Hochpunkte:
> [mm]HP_{1}(-0,69/-3,7)[/mm] & [mm]HP_{2}(-4,78/-3,86)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier hab ich als Extremstellen [mm] x_{E1}=\wurzel{2} \wedge x_{E2}=-\wurzel{2}
[/mm]
> Wendestellen:
> Auch wieder 2:
> [mm]WP_{1}(2,73/1,2)[/mm] & [mm]WP_{2}(-0,73/7,17)[/mm]
x-Werte stimmen, Funktionswerte habe ich [mm] \approx-1,93 [/mm] und [mm] \approx0,84
[/mm]
> Ist das richtig?
Grüße,
exeqter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Di 29.01.2008 | | Autor: | punix |
Bei den Extremstellen habe ich auch [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] -\wurzel{2}
[/mm]
Nur habe ich dort die Wurzel gezogen ;) Also ist es das selbe, oder?
Bei den Wendestellen habe ich wohl etwas falsch in den Taschenrechner eingetippt ;)
Wie löse ich denn Aufgabe b) und c)???
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Hi,
hättest du bei den extremstellen dasselbe müssten da aber 1,41 und -1,41 herauskommen...
b) ein Flächeninhalt ist eindeutig begrenzt, der zweite Flächeninhalt lässt sich über ein uneigentliches Integral bestimmen, d.h. die zweite Integrationsgrenze ist [mm] \infty.
[/mm]
c) Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung und zeige dass es nur für k<2 welche gibt.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 29.01.2008 | | Autor: | punix |
Hmmm, wie die b) funktionierst weiß ich grad nicht so richtig, da ich nicht mehr genau weiß wie man Integriert.
Habe aber mal die c) gemacht und folgende 1. Ableitung:
[mm] f'_{k}(x)=e^{-x}(-x^{2}+4x+2-k)
[/mm]
Richtig oder? Wenn es richtig ist, warum muss ich die Nullstellen der 1. Ableitung berechnen? Normalerweise berechnet man doch die Nullstellen der Funktionsgleichung und keiner Ableitung.
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Hallo!
Deine Ableitung die du berechnet hast ist falsch. Mich stört die 4x die soll da nicht hin. es sollte heissen: [mm] e^{-x}(-x²+2-k). [/mm] Zur Frage warum du die Nullstellen der ABleitung berechnen sollst: Naja du sollst doch zeigen dass es nur einen Extrempunkt gibt für k<2. Da muss du doch die 1 ableitung bilden und die gleich null setzen. Es ist doch: notwendige Bed. f'(x)=0 und hinreichende bed. [mm] f''(x)\not=0
[/mm]
zur b): Es gibt ja zwei Flcäeninhalte der fkt f mit der 1.Achse. Das sieht du daran wenn du alle Extrema bestimmt hast und die Nullstellen bestimmt hast und dann evtl auch noch den graphen gezeichnet hast. Der Erste inhalt ist ja leicht zu integrieren dan nimmt du als grenzen deine Nullstellen mit der x-Achse und das 2 Integral ist wie auch schon erwähnt ein uneigentliches integral also als Grenzen von 0 bis [mm] \infty. [/mm] Du kannst das Integral mit der partiellen Integration berchnen.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 29.01.2008 | | Autor: | punix |
Die 2. Ableitung ist dann oder?
[mm] f''_{k}(x)=e^{x}(x^{2}-2x-2+k)
[/mm]
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Hallo!
Nicht ganz da haben sich Vorzeichenfehler eingeschliechen!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Di 29.01.2008 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
um das ganze mal ein wenig voranzutreiben, hier die Ableitungen und eine Skizze des Graphen:
[mm] f(x)=(x^{2}+2*x+k)*e^{-x}
[/mm]
[mm] f'(x)=(-x^{2}-k+2)*e^{-x}
[/mm]
[mm] f''(x)=(x^{2}-2*x+k-2)*e^{-x}
[/mm]
[mm] f'''(x)=(-x^{2}+4*x-k)*e^{-x}
[/mm]
Setze jetzt f'(x)=0, dafür solltest du [mm] x_{1}=-\wurzel{2-k} [/mm] und [mm] x_{2}=\wurzel{2-k} [/mm] erhalten, dabei fällt dir dann sicher was auf.
Skizze des Graphen (Aufgabenteil b), entschuldigt die Unordnung):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Ansätze für die Integration sind dann folgende:
Für die eindeutig begrenzte Fläche hast du als Integrationsgrenzen die Nullstellen, da es sich um einen orientierten Flächeninhalt handelt, sind Betragsstriche zu verwenden:
[mm] \left|\integral_{-2}^{0}{[(x^{2}+2x)\cdot{}e^{-x}] dx}\right|
[/mm]
Jetzt das uneigentliche Integral. Hierbei integrierst du von der letzen Nullstelle bis zu einer imaginären neuen Integrationsgrenze z, die du gegen unendlich laufen lässt:
[mm] \limes_{z\rightarrow\infty} \integral_{0}^{z}{[(x^{2}+2x)\cdot{}e^{-x}] dx} [/mm]
Liebe Grüße,
exeqter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Di 29.01.2008 | | Autor: | punix |
Danke schonmal an eXeQteR un den Rest ;)
k dürfte auf keinen Fall größer als 2 werden, weil sonst negative Ergebnisse rauskommen würden und somit könnte man keine Wurzeln ziehen, richtig?
Bei der Aufgabe b verstehe ich das nun auch :)
Jetzt noch zu Aufgabe d)... Wie bestimme ich g(x)
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Hallo,
> Danke schonmal an eXeQteR un den Rest ;)
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> k dürfte auf keinen Fall größer als 2 werden, weil sonst
> negative Ergebnisse rauskommen würden und somit könnte man
> keine Wurzeln ziehen, richtig?
> Bei der Aufgabe b verstehe ich das nun auch :)
Schön.
> Jetzt noch zu Aufgabe d)... Wie bestimme ich g(x)
Stichwort Ortskurve. Bestimme die Extrempunkte in Abhängigkeit von k (hast du schon). Löse die x-Werte nach dem Parameter k auf, setze sie in die zugehörigen Funktionswerte ein, violà du hast die Ortskurve.
Lg,
exeqter
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Kettenregel