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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] fk(x)=(k-x)e^{\bruch{1}{2}x} [/mm] für k> 0
a)Berechnen Sie, falls vorhanden, die Achsenschnittpunkte.
b)Berechnen Sie, falls vorhanden, die Extrempunkte.
c) Berechnen Sie, falls vorhanden, die Wendepunkte.
d) Bestimmen Sie die Funktionswerte für die Grenzen des Definitionsbereichs.
e)Bestimmen Sie die Fläche Ak zwischen den Achsenschnittpunkten und der x-Achse.
f) Berechnen Sie die Funktionsgleichungen folgender Ortskurven:
f okh(x) Ortskurve der Hochpunkte von fk(x) und f okw (x) Ortskurve der Wendepunkte von fk (x) und zeichnen Sie diese in das Koordinatensystem.
h) Berechnen Sie für k=4 die Fläche A4 und kennzeichnen Sie diese im Koordinatensystem |
Hallo Zusammen
heute haben wir die Aufgabe aufbekommen. Bisher haben wir immer ohne Parameter gerechnet. Ich komme mit der Aufgabe leider nicht weiter. Bei a ist der Ansatz x=0 und y= 0. Bei b müssen wir erst die Ableitungen bestimmen, da komme ich aber auch schon nicht weiter.
????Sehe nur noch Fragezeichen...
Kann mir wohl jemand dabei helfen..
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Hallo mathegenie,
> Gegeben sei die Funktion [mm]fk(x)=(k-x)e^{\bruch{1}{2}x}[/mm] für
> k> 0
> a)Berechnen Sie, falls vorhanden, die
> Achsenschnittpunkte.
> b)Berechnen Sie, falls vorhanden, die Extrempunkte.
> c) Berechnen Sie, falls vorhanden, die Wendepunkte.
> d) Bestimmen Sie die Funktionswerte für die Grenzen des
> Definitionsbereichs.
> e)Bestimmen Sie die Fläche Ak zwischen den
> Achsenschnittpunkten und der x-Achse.
> f) Berechnen Sie die Funktionsgleichungen folgender
> Ortskurven:
> f okh(x) Ortskurve der Hochpunkte von fk(x) und f okw (x)
> Ortskurve der Wendepunkte von fk (x) und zeichnen Sie diese
> in das Koordinatensystem.
> h) Berechnen Sie für k=4 die Fläche A4 und kennzeichnen
> Sie diese im Koordinatensystem
> Hallo Zusammen
>
> heute haben wir die Aufgabe aufbekommen. Bisher haben wir
> immer ohne Parameter gerechnet.
Keine Angst vor Parametern 
Denke dir, das sei irgendeine feste reelle Zahl, zB 3
> Ich komme mit der Aufgabe
> leider nicht weiter. Bei a ist der Ansatz x=0 und y= 0.
Ja, du meinst das richtige!
Berechne für den (die) Schnittpunkt(e) mit der x-Achse, also die Nullstelle(n) von [mm] f_k:
[/mm]
[mm] $f_k(x)=0$, [/mm] also [mm] $(k-x)\cdot{}e^{\frac{1}{2}x}=0$
[/mm]
Benutze den Satz vom Nullprodukt: ein Produkt ist genau dann =0, wenn (mindestens) einer der Faktoren =0 ist
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne entsprechend [mm] $f_k(\blue{0})=(k-\blue{0})\cdot{}e^{\frac{1}{2}\cdot{}\blue{0}}=....$
[/mm]
> Bei b müssen wir erst die Ableitungen bestimmen, da komme ich
> aber auch schon nicht weiter.
Für die Ableitung benutze die Produktregel, setze dazu $u(x)=k-x$ und [mm] $v(x)=e^{\frac{1}{2}x}$
[/mm]
Für die (Teil-)Ableitung von $v(x)$ brauchst du die Kettenregel.
> ????Sehe nur noch Fragezeichen...
> Kann mir wohl jemand dabei helfen..
Soweit erstmal, versuche dich nun mal an (a) und (b), dann machen wir weiter...
Viel Erfolg
schachuzipus
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So habe mich jetzt an der Aufgabe a und b versucht....
zuerst nullstellen bzw. X-Achsenabschnitt bestimmt
fk(x)=0
k=0 Pkx(k/0)
dann y-Achsenabschnitt
[mm] fk(0)=(k-0)*e^{\bruch{1}{2}0}
[/mm]
fk(0)=k
Pky (0/k)
b)Extrempunkte
x
u(x)= k-x u´(x)= k
v(x)= [mm] e^{\bruch{1}{2}x} [/mm] v´(x)= [mm] \bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}x} [/mm]
die werte mit der produktregel eingesetzt
dann komme ich auf folgende erste Ableitung
= [mm] (-\bruch{1}{2}k [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x)e^{\bruch{1}{2}x}
[/mm]
kann das wohl richtig sein???
wie gehe ich dann weiter vor????
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Hallo nochmal,
> So habe mich jetzt an der Aufgabe a und b versucht....
> zuerst nullstellen bzw. X-Achsenabschnitt bestimmt
> fk(x)=0 [mm] \red{\gdw (k-x)e^{\frac{1}{2}x}=0\gdw (k-x)=0\gdw x=k}
[/mm]
> k=0
du meinst k=x
> Pkx(k/0) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann y-Achsenabschnitt
> [mm]fk(0)=(k-0)*e^{\bruch{1}{2}0}[/mm]
> fk(0)=k
> Pky (0/k)
>
> b)Extrempunkte
> x
> u(x)= k-x u´(x)= k ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Behandle k wie eine reelle Zahl, nimm an, k=3, was ist dann die Ableitung $u'(x)$ von $u(x)=3-x$ ?
> v(x)= [mm]e^{\bruch{1}{2}x}[/mm] v´(x)=
> [mm]\bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}x}[/mm]
>
> die werte mit der produktregel eingesetzt
> dann komme ich auf folgende erste Ableitung
> = [mm](-\bruch{1}{2}k[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x)e^{\bruch{1}{2}x}[/mm]
> kann das wohl richtig sein???
> wie gehe ich dann weiter vor????
Wenn du die erste Ableitung verbessert hast, bestimme deren Nullstelle(n).
(Du kannst - wenn alles richtig ist - [mm] $e^{\frac{1}{2}x}$ [/mm] ausklammern und wieder dieses Prinzip mit dem Nullprodukt anwenden.
Die Stelle(n) [mm] $x_e$ [/mm] (für Extremstelle), die du dabei findest, musst du dann in die 2.Ableitung [mm] $f_k''(x)$ [/mm] einsetzen, also [mm] $f_k''(x_e)$ [/mm] berechnen, um die Art des Extremums zu bestimmen (Max/Min)...
Die 2. Ableitung kannst du wieder mit der Produktregel machen, wenn du wie erwähnt [mm] $e^{\frac{1}{2}x}$ [/mm] ausklammerst in der 1.Ableitung
LG
schachuzipus
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u´(x) ist dann -1....
wenn ich denn den hochpunkt berechnet habe, wie gehe ich bei aufgabe f vor????
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