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| Aufgabe | Sei E(x) die Expotentialfunktion, E(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!}. [/mm] Zur Erinnerung: [mm] \forall x,y\in\IR [/mm] : E(x+y)=E(x)*E(y). Beweisen Sie, dass
[mm] \forall x,y\in(-1,1) [/mm] \ {0}: [mm] \vmat{\bruch{E(x)-1}{x}-1}\le \bruch{1}{2}\bruch{\vmat{x}}{(1-\vmat{x})}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Expotentialfunktion differenzierbar in ganz [mm] \IR [/mm] ist, mit E'=E |
Eigentlich reicht es ja das Intervall (0,1) zu betrachten, da auf der rechten Seite die x ja eh in Beträgen stehen und auf der linken seite der Term nicht größer wird.
Nach ein wenig umformen komme ich auf [mm] \bruch{2}{3}*\vmat{\bruch{h^n}{n}-1}<\vmat{x}, [/mm] wobei h>0. Irgendwie kann ich mir schon vorstellen, dass diese gleichung für alle x erfüllt ist (man zu jedem x ein h>0 findet. Aber muss ich das noch zeigen oder ist das trivial?^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei E(x) die Expotentialfunktion, E(x) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!}.[/mm] Zur Erinnerung:
> [mm]\forall x,y\in\IR[/mm] : E(x+y)=E(x)*E(y). Beweisen Sie, dass
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> [mm]\forall x,y\in(-1,1)[/mm] \ {0}: [mm]\vmat{\bruch{E(x)-1}{x}-1}\le \bruch{1}{2}\bruch{\vmat{x}}{(1-\vmat{x})}[/mm]
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> Zeigen Sie, dass die Expotentialfunktion differenzierbar
> in ganz [mm]\IR[/mm] ist, mit E'=E
> Eigentlich reicht es ja das Intervall (0,1) zu betrachten,
> da auf der rechten Seite die x ja eh in Beträgen stehen und
> auf der linken seite der Term nicht größer wird.
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> Nach ein wenig umformen komme ich auf
> [mm]\bruch{2}{3}*\vmat{\bruch{h^n}{n}-1}<\vmat{x},[/mm] wobei h>0.
Keine Ahnung, wie Du dies erhalten hast. Es ist doch
[mm]\begin{array}{rcl}
\left|\frac{E(x)-1}{x}-1\right| &=& \big|\tfrac{1}{2!}x+\tfrac{1}{3!}x^2+\tfrac{1}{4!}x^3+\cdots\big|\\
&\leq&\tfrac{1}{2!}|x|+\tfrac{1}{3!}|x|^2+\tfrac{1}{4!}|x|^3+\cdots\\
&\leq&\tfrac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty |x|^n=\tfrac{1}{2}\frac{|x|}{1-|x|} \text{ (geometrische Reihe)}
\end{array}[/mm]
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