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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mi 07.01.2009 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Radium 226 hat eine Halbwertszeit von 1600 Jahren. Zu Beginn der Beoachtung sind 10 g Radium vorhanden.
a) Berechne die Zerfallskonstante k und gib eine geeignete Funktionsgleichung zur Beschreibung dieses exponentiellen Zerfallprozesses an.
b)Berechne, welche Masse an Radium vor 500 Jahren vorhanden gewesen ist,bzw welche Masse nach 100 Jahren noch vorhanden sein wird.
c) Bereche,wie lange es dauern wird,is 90 % der Masse des Radiums zerfallen ist. |
Erstmal Hallo.. und schreib euch erstmal was ich versucht habe mit meinem Wissen zu machen.
a) Zerfallskonstante: [mm] ln(1-\bruch{p}{100})
[/mm]
[mm] ln(1-\bruch{50}{100})
[/mm]
-0.6931471806
Funktionsgleichung dieses exponentiellen Wachstums:
[mm] f(t)=c*e^{k*t}
[/mm]
[mm] f(0)=10*e^{ln(1-\bruch{50}{100})*0}
[/mm]
Oder so geht auch oder ? Also
[mm] f(t)=c*a^x
[/mm]
[mm] f(t)=10*(1-\bruch{50}{100})^t
[/mm]
Wenn nicht bitte erklären....wäre nett
b)
[mm] f(t)=c*e^{k*t}
[/mm]
[mm] f(-500)=10*e^{ln(1-\bruch{50}{100})*(-500)}
[/mm]
Da kommt leider Error raus...Kein plan was falsch sein soll
[mm] f(100=10*e^{ln(1-\bruch{50}{100})*100}
[/mm]
=7.89*10^-30
Keine Ahnung was das sein soll..bestimmt ein ganz kleines Ergebnis..
c)
[mm] t=-\bruch{0,1}{0.6931471806}
[/mm]
=-3,82 Jahre...
Ja also hab das getan was ich konnte... Gruß und bedanke mich für ausführlche Korrektur...
Gruß yuppi
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Hallo!
Da scheinen sich beim Tippen ein paar Fehler eingenistet zu haben...
Bei der Rechnung hast du ganz am Anfang einen Fehler gemacht:
Radium hat ne Halbwertszeit von 1600 Jahren, Cäsium von 30 Jahren. Was würde sich an deiner Rechnung ändern, wenn es um Cäsium ginge? NICHTS! Die Halbwertszeit kommt nicht in deiner Berechnung von k vor.
Schau mal, der Zerfall wird durch
[mm] N(t)=N_0e^{-kt}
[/mm]
beschrieben. Nach 1600 Jahren ist nur noch die Hälfte (oder meinetwegen 50%) der anfänglichen Menge [mm] N_0=10g [/mm] da:
[mm] N(1600)=N_0e^{-k*1600}=\frac{50}{100}N_0
[/mm]
[mm] e^{-k*1600}=\frac{50}{100}
[/mm]
Das mußt du nach k auflösen.
>> Oder so geht auch oder ? Also
>> [mm] f(t)=c*a^x [/mm]
Man kann auch da etwas basteln:
[mm] N(t)=N_0*0,5^\frac{t}{1600}
[/mm]
Füt t=0 soll ja wieder [mm] N_0 [/mm] rauskommen. Und nach 1600 Jahren gibts nur noch das 0,5-Fache, nach 3200 Jahren das (0,5)²=0,25-fache usw, daher der Bruch im Exponenten.
Die Formel [mm] N(t)=N_0*0,5^\frac{t}{1600} [/mm] ist sicher praktischer, wenn ein t gegeben ist, und nach N(t) oder [mm] N_0 [/mm] gefragt ist. Aber wenn nach t gefragt wird, wirds schwieriger, weil dein Taschenrechner keine Taste für [mm] \log_{0,5} [/mm] hat.
Es gibt noch nen anderen Grund, warum man lieber die erste Schreibweise benutzt: Im letzten Beispiel hast du ZWEI Parameter: 0,5 und 1600. Wenn eine andere radioaktive Quelle nach 6400 Jahren noch 12,5 % hat, lautet die Formel
[mm] N(t)=N_0*0,125^\frac{t}{6400} [/mm] .
Zerfällt die Probe schneller oder langsamer als dein Radium? Du siehst es nicht sofort. wenn du die erste Schreibweise benutzt, gibt es nur EINEN Parameter, nämlich k. An dem siehst du sofort, ob etwas schneller oder langsamer zerfällt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mi 07.01.2009 | | Autor: | yuppi |
Sorry aber wenn ich ehrlich bin habe ich deine Erklärung nicht verstanden..
Es wär mir wirklich eine Große Hilfe wenn du nach a b und rangegangen wärst... Die vielen Bsp haben mich bissien durcheinander gemacht..
Könntest du auf die Aufgaben eingehen waas ich einzeln bei a b und falsch gemacht habe
trotzdem danke..
Und wenn ich k auflöse kommt irgendwie5,2*10^-65
gruß yuppi..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Do 08.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann versuche ich mich mal daran.
> Radium 226 hat eine Halbwertszeit von 1600 Jahren. Zu
> Beginn der Beoachtung sind 10 g Radium vorhanden.
> a) Berechne die Zerfallskonstante k und gib eine geeignete
> Funktionsgleichung zur Beschreibung dieses exponentiellen
> Zerfallprozesses an.
> b)Berechne, welche Masse an Radium vor 500 Jahren
> vorhanden gewesen ist,bzw welche Masse nach 100 Jahren noch
> vorhanden sein wird.
> c) Bereche,wie lange es dauern wird,is 90 % der Masse des
> Radiums zerfallen ist.
> Erstmal Hallo.. und schreib euch erstmal was ich versucht
> habe mit meinem Wissen zu machen.
>
> a) Zerfallskonstante: [mm]ln(1-\bruch{p}{100})[/mm]
> [mm]ln(1-\bruch{50}{100})[/mm]
> -0.6931471806
> Funktionsgleichung dieses exponentiellen Wachstums:
>
> [mm]f(t)=c*e^{k*t}[/mm]
> [mm]f(0)=10*e^{ln(1-\bruch{50}{100})*0}[/mm]
>
Nimm mal diesen Weg. [mm] F(t)=N_{0}*e^{kt}
[/mm]
Jetzt weisst du, dass nach 1600 Jahren nur noch die Hälfte der Startmasse [mm] N_{0} [/mm] vorhanden ist, also [mm] f(1600)=\bruch{1}{2}N_{0}
[/mm]
(Selbst wenn du die Startmasse nicht kennst, kannst du also das k berechnen).
Also:
[mm] \bruch{1}{2}N_{0}=N_{0}*e^{k*1600}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}=e^{1600k}
[/mm]
[mm] \gdw \ln\left(\bruch{1}{2}\right)=1600k
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\ln\left(\bruch{1}{2}\right)}{1600}=k
[/mm]
Und, da [mm] N_{0} [/mm] die Startmasse ist, gilt hier [mm] N_{0}=10
[/mm]
> Oder so geht auch oder ? Also
> [mm]f(t)=c*a^x[/mm]
> [mm]f(t)=10*(1-\bruch{50}{100})^t[/mm]
>
> Wenn nicht bitte erklären....wäre nett
>
> b)
> [mm]f(t)=c*e^{k*t}[/mm]
> [mm]f(-500)=10*e^{ln(1-\bruch{50}{100})*(-500)}[/mm]
>
> Da kommt leider Error raus...Kein plan was falsch sein
> soll
Bearbeite diese Aufgabe nochmal mit der korrekten Zerfallskonstante k
Also. [mm] f(t)=10e^{\bruch{\ln\left(\bruch{1}{2}\right)}{1600}*t}
[/mm]
Und jetzt f(-500) und f(100) berechnen.
Also [mm] f(-500)=10e^{\bruch{-500\ln\left(\bruch{1}{2}\right)}{1600}}=10e^{\bruch{-5\ln\left(\bruch{1}{2}\right)}{16}}=10e^{\bruch{-5}{16}*\ln\left(\bruch{1}{2}\right)}=10e^{\ln\left(\left(\bruch{1}{2}\right)^{-\bruch{5}{16}}\right)}=10*\left(\left(\bruch{1}{2}\right)^{-\bruch{5}{16}}\right)
[/mm]
Und [mm] f(100)=10e^{\bruch{100\ln\left(\bruch{1}{2}\right)}{1600}}=10e^{\bruch{\ln\left(\bruch{1}{2}\right)}{16}}=10*\left(\left(\bruch{1}{2}\right)^{\bruch{1}{16}}\right)
[/mm]
>
> [mm]f(100=10*e^{ln(1-\bruch{50}{100})*100}[/mm]
> =7.89*10^-30
> Keine Ahnung was das sein soll..bestimmt ein ganz kleines
> Ergebnis..
Das ist die sogenannte ![[]](/images/popup.gif) Wissenschaftliche Schreibweise.
>
> c)
> [mm]t=-\bruch{0,1}{0.6931471806}[/mm]
> =-3,82 Jahre...
Das kann nicht sein, das Zerfällt doch. Also waren vorher mehr da.
Wenn [mm] 90\% [/mm] zerfallen sind, sind nur noch [mm] 10\%\hat=0,1N_{0} [/mm] hier also nur noch 0,1*10=1g vorhanden, also suchst du das t, für das gilt:
[mm] \red{1}=10e^{\bruch{\ln\left(\bruch{1}{2}\right)}{1600}*t}
[/mm]
[mm] \gdw t=\ldots
[/mm]
>
> Ja also hab das getan was ich konnte... Gruß und bedanke
> mich für ausführlche Korrektur...
>
> Gruß yuppi
Marius
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