Exponential- und Potenzgleichu < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Fr 07.11.2014 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] x^{2}-2^{x}=0 [/mm] |
Hallo,
ich wollte obige Gleichung auflösen aber weiß ned genau wie.
Mir ist klar wie ich eine Quadratische Gleichung löse und mir ist klar wie ich eine Exponentialgleichung löse. Aber wie bitte löse ich eine gemischte Gleichung???
Habt ihr einen Tipp für mich?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo.... Durch genaueres Betrachten, kannst du 2 eigentlich sehr "einfache" und "schöne" Lösungen finden. Ich weiß nicht genau was du studierst und wie weit du bist, aber eine dritte ließe sich mit dem sogenannten Zwischenwertsatz zeigen. Ob du diese genaustens ermitteln kannst.... keine Ahnung, das wüsste ich grade selbst nicht, aber die dritte Nullstelle kannst du zumindest in einem Intervall einschränken....
Gruß
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Fr 07.11.2014 | | Autor: | piriyaie |
Danke für die Antwort.
also ich weiß, dass ich die Gleichung so umstellen kann:
[mm] x^{2}=2^{x}
[/mm]
dann durch logische überlegung weiß ich, dass eine Lösung x=2 ist und eine andere x=4. Aber ich würde gerne wissen ob das möglich ist diese Gleichung zu lösen mit hilfe von Äquivalenzumformungen, falls solche Gleichungen komplexer werden und es mir nicht mehr möglich ist die Lösung durch reines überlegen zu finden.
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Ich glaube nicht, dass du diese Gleichung mittels Äquivalenzumformungen lösen werden kannst...
Beispiele:
1)
Ziehen wir mal die Wurzel bei der von dir umgeformten Gleichung:
[mm] x^{2}=2^{x} \gdw x=2^{\bruch{x}{2}}\wedge{x=-2^{\bruch{x}{2}}}
[/mm]
Evlt. könnten wir nun mit dem Logarithmus weiterarbeiten, welches uns den Weg zum [mm] \bruch{x}{2} [/mm] auf der rechten Seite verschafft, das x auf der linken Seite jedoch in den Logarithmus verschachtelt, insbesondere fällt die negative Lösung weg, es sei denn wir würden auch komplexwertige Lösungen betrachten.... Dieser Weg hilft uns also nicht weiter.
2)
Probieren wir es gleich sofort mit dem Logarithmus, so erhalten wir:
[mm] 2*log_{2}(x)=x
[/mm]
Auch hier ist das Auflösen nach x nicht möglich....
3)
Mit [mm] 2^{x}=e^{ln(2)x}=\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{(ln(2)x)^{n}}{n!}) [/mm] könnte man evtl. meinen, man könnte, den [mm] x^{2} [/mm] Ausdruck so angenehm entfernen, dass man die Lösung direkt erkennen kann, aber das ist auch hier nicht der Fall....
Du siehst, Äquivalenzumformungen würden dir hier nicht sonderlich weiterhelfen, mit Beispiel 2) könntest du eventuell noch schneller auf die 2 recht trivialen Lösungen kommen, aber ansonsten hilft auch das kaum etwas....
Gruß
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Fr 07.11.2014 | | Autor: | piriyaie |
ohhh man schade... Deine Ideen hatte ich auch schon... :-(
Ich dachte es gäbe da etwas wie einen Trick... naja. gut.... Dann lasse ich solche Gleichungen in Zukunft von meine TR berechnen.. oder schreibe mir selbst ein Programm 
Danke dir.
LG
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Fr 07.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ali,
Als Mathematikstudent sollte man vielleicht in diesem Zusammen-
hang die ![[]](/images/popup.gif) Omegafunktion gehört haben. Hier erhalten wir
[mm] x=-\frac{2W\left(\frac{\log(2)}{2}\right)}{\log(2)}.
[/mm]
Sonst wurde alles gesagt: Zeige, dass die Funktion genau drei
Nullstellen besitzt. Gib die offensichtlichen zwei Nullstellen
an und grenze die dritte Nullstelle durch den Zwischenwert-
satz ein. Dann kannst du natürlich auch das Problem numerisch
lösen. Dazu dann natürlich auch alle Voraussetzung und den
Beweis der Konvergenz des gewählten Verfahrens zeigen.
Gruß
DieAcht
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