Explizites Euler-Verfahren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Fr 22.05.2015 | | Autor: | Hubi1991 |
| Aufgabe | | Rechne zu jedem $h > 0$ und zum Anfangswertproblem $y'=2-y , y(0)=1$ die Lösung des expliziten Euler-Verfahrens aus und zeige, dass die kontinuierliche Lösung für $T < [mm] \infty$ [/mm] und $h [mm] \to [/mm] 0$ auf dem Intervall [0,T] gegen die kontinuierliche Lösung $y$ des Anfangswertproblems konvergieren |
Hallo!
Die Lösung des Anfangswertproblems habe ich bereits bestimmt. Diese lautet: [mm] y(t)=2-e^{-t} [/mm]
Wenn ich nun das explizite Euler-Verfahren anwende, bekomme ich eine Treppenfunktion die von h abhängt:
[mm] u(t)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } t=0 \\ h+1, & \mbox{für } 0
Allgemein ergibt sich:
[mm] u(jh)=2h+2h(1-h)+2h(1-h)^2+...+2h(1-h)^{j-1}+(1-h)^j , j \in \IN, j>1 [/mm]
[mm] u(h)=2h+(1-h)=h+1 [/mm]
Numerisch ist hier klar, wie der Hase läuft. Für möglichst kleines h und großes j ergeben sich viele Stützstellen, sodass man die Werte an den Stützstellen plotten lassen kann. Wie aber bekomme ich diese Treppenfunktion u zu der Lösung der Differentialgleichung oben? Muss ich die Treppen aufsummieren und dann h gegen 0 laufen lassen? Und um alle Werte zu bekommen muss ja dann j gegen unendlich gehen, oder?
Das ist mir noch nicht klar.
Bin für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
Hubi
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Fr 22.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
nenne h=t/n
dann u((n*h)=u(t) und klammere h bzw t/n aus und summiere die entstehende geometrische Reihe.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Fr 22.05.2015 | | Autor: | Hubi1991 |
Vielen Dank.
Damit erhält man dann also:
[mm] u(nh)=2h*(1+(1-h)+...+(1-h)^{n-1})+(1-h)^n=2-(1-h)^n =2-(1-\bruch{t}{n})^n \to 2-e^{-t} , n \to \infty [/mm]
Ich hatte den Fehler gemacht, dass ich immer gedacht habe , dass für kleines h und n gegen unendlich der Term [mm] $(1-h)^n$ [/mm] gegen 0 geht. Da aber h selbst von n abhängt funktioniert das nun.
Dankeschön!
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