Existiert f(x)=f(x+1)? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
[mm] f:[0,2]\to\IR [/mm] sei stetig und es gelte f(0)=f(2). Man zeige, es gibt ein [mm] x\in[0,1] [/mm] mit f(x)=f(x+1)
mein Ansatz:
Ich spalte den Beweis in zwei Fälle auf:
1. Fall: f(x) ist konstant [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=f(x+1)
2. Fall: f(x) ist nicht konstand
[mm] \Rightarrow [/mm] f hat ein Supremum oder Infimum das ungleich f(0)=f(2) ist
[mm] \Rightarrow [/mm] Jeder Funktionswert der nicht f(0)=f(2) ist wird wenn überhaupt zweimal angenommen nach Zwischenwertsatz
Hier komme ich leider nicht weiter. Kann ich so ansetzen? Wie gehe ich jetzt vor?
Vielen Dank im Vorraus Reticella
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Definiere Dir (für den nicht konstanten Fall) in [0;1] eine Funktion g(x)=f(x+1)-f(x).
Zeige, dass sie eine Nullstelle hat.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Reticella |
Vielen, vielen Dank. Aufgabe gelöst.
Reticella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Sa 20.12.2008 | | Autor: | reverend |
Freut mich.
Ich hätte übrigens schreiben sollen: "mindestens eine Nullstelle".
Um das zu zeigen, brauchst Du den Zwischenwertsatz, den Mittelwertsatz oder den Satz von Rolle, und einer davon genügt.
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