Existenz von Wurzeln < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich arbeite gerade noch einmal den Beweis für die Existenz von Wurzeln durch (also sei a [mm] \in \IR [/mm] mit a > 0, dann existiert genau eine positive relle zahl s mit [mm] s^2 [/mm] = a (Wurzel aus a).
Jetzt will man [mm] s^2 [/mm] = a nachweisen.
Dazu betrachtet man die Zahl y := [mm] \bruch{1}{2}(s+ \bruch{a}{s}).
[/mm]
(falls a = [mm] s^2 [/mm] stimmt, ist natürlich y=s ). Soweit klar.
Es ist y > 0 und [mm] y^2 [/mm] - a = [mm] \bruch{1}{4}(s- \bruch{a}{s})^2 \ge [/mm] 0.
Das kann ich jetzt nicht so ganz nachvollziehen, es wurde alles quadriert,
aber wo kommt das -a auf einmal her? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke für Tipps,
Anna
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> Dazu betrachtet man die Zahl y := [mm]\bruch{1}{2}(s+ \bruch{a}{s}).[/mm]
>
> (falls a = [mm]s^2[/mm] stimmt, ist natürlich y=s ). Soweit klar.
>
> Es ist y > 0 und [mm]y^2[/mm] - a = [mm]\bruch{1}{4}(s- \bruch{a}{s})^2 \ge[/mm]
> 0.
> Das kann ich jetzt nicht so ganz nachvollziehen, es wurde
> alles quadriert,
> aber wo kommt das -a auf einmal her?
Hallo,
man hat hier einfach [mm] y^2-a [/mm] ausgerechnet unter Verwendung von y := [mm] \bruch{1}{2}(s+ \bruch{a}{s}).
[/mm]
Das hat man getan, um zu zeigen, daß [mm] y^2\ge [/mm] a ist.
[mm] y^2-a=(\bruch{1}{2}(s+ \bruch{a}{s}))^2-a=\bruch{1}{4}(s- \bruch{a}{s})^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Antwort!
> man hat hier einfach [mm]y^2-a[/mm] ausgerechnet unter Verwendung
> von y := [mm]\bruch{1}{2}(s+ \bruch{a}{s}).[/mm]
> Das hat man getan,
> um zu zeigen, daß [mm]y^2\ge[/mm] a ist.
>
> [mm]y^2-a=(\bruch{1}{2}(s+ \bruch{a}{s}))^2-a=\bruch{1}{4}(s- \bruch{a}{s})^2.[/mm]
Achso, verstehe. Aber könntest Du vielleicht noch einmal ausführlicher schreiben, wie man von [mm](\bruch{1}{2}(s+ \bruch{a}{s}))^2-a[/mm] auf [mm] \bruch{1}{4}(s- \bruch{a}{s})^2. [/mm] kommt? Irgendwie hakt es da bei mir noch immer.
Vielen Dank,
Anna
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Hallo,
[mm] (\bruch{1}{2}(s+ \bruch{a}{s}))^2-a
[/mm]
[mm] =(\bruch{s}{2}+ \bruch{a}{2s})^2-a
[/mm]
[mm] =\bruch{s^{2}}{4}+\bruch{a}{2}+\bruch{a^{2}}{4s^{2}}-a
[/mm]
[mm] =\bruch{s^{2}}{4}-\bruch{a}{2}+\bruch{a^{2}}{4s^{2}}
[/mm]
jetzt klammere [mm] \bruch{1}{4} [/mm] aus und wende die Binomische Formel an,
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Steffi,
danke!! Hatte es auch gerade selbst doch noch rausbekommen.
Gruß,
Anna
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Hallo,
> > Es ist y > 0 und [mm]y^2[/mm] - a = [mm]\bruch{1}{4}(s- \bruch{a}{s})^2 \ge 0[/mm] .
hat mat dieses eigentlich [mm] \ge [/mm] 0 gesetzt, weil y > 0 und [mm] y^2 [/mm] - a ja auch [mm] \ge [/mm] 0 sein muss bei a = [mm] s^2 [/mm] und y = s, also weil man das einfach so annimmt??
Gruß,
Anna
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Hallo Anna!
> hat mat dieses eigentlich [mm]\ge[/mm] 0 gesetzt, weil y > 0 und [mm] y^2-a [/mm] ja auch [mm]\ge[/mm] 0
> sein muss bei a = [mm]s^2[/mm] und y = s,
Nein ... einfacher: das Quadrat jeder reellen Zahl ist positiv oder höchstens Null:
[mm] $x^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ \ \ [mm] \forall x\in\IR$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
vielen Dank für Deine Antwort!
> > hat mat dieses eigentlich [mm]\ge[/mm] 0 gesetzt, weil y > 0 und
> [mm]y^2-a[/mm] ja auch [mm]\ge[/mm] 0
> > sein muss bei a = [mm]s^2[/mm] und y = s,
>
> Nein ... einfacher: das Quadrat jeder reellen Zahl ist
> positiv oder höchstens Null:
>
> [mm]x^2 \ \ge \ 0 \ \ \ \forall x\in\IR[/mm]
Ja, dachte auch zuerst, dass das reicht. Aber was ist wenn a > [mm] y^2, [/mm] dann muss man doch die Annahme a= [mm] s^2 [/mm] und y = s berücksichtigen, oder denke ich da jetzt zu verquer?
Danke,
Anna
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Hallo Anna!
Wir hatten doch den Term [mm] $y^2-a$ [/mm] umgefomt zu: [mm] $y^2-a [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\left(s- \bruch{a}{s}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[\bruch{1}{2}*\left(s- \bruch{a}{s}\right)\right]^2$ [/mm] .
Und damit haben wir doch wieder eine Quadratzahl, für die [mm] $\ge [/mm] \ 0$ gilt.
Gruß vom
Roadrunner
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
