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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Mi 09.11.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey!
Ich hab ein Problem beim Verständnis eines Beweises.
Und zwar ist die Situation folgende:
Wir haben ein Integral
[mm] I_{1}(s)=\integral_{0}^{\infty}{(\bruch{te^{t}}{e^{t}-1}-f_{n}(t))e^{-t}t^{s-2} dt}
[/mm]
mit [mm] s\in\IC [/mm] einem Polynom [mm] f_{n}(t)=O(t^{n+1}) [/mm] für [mm] t\to0.
[/mm]
Von dem sollen wir nun zeigen, dass es für alle [mm] s\in\IC [/mm] mit Re(s)>-n konvergiert und eine holomorphe Funktion darstellt.
Jetzt steht hier, dass der Integrand für [mm] t\to\infty [/mm] exponentiell klein wird, was klar ist, wegen der e-Funktion im Nenner. Und weiter, dass sich der Integrand für [mm] t\to0 [/mm] wie [mm] O(t^{n+Re(s)-1}) [/mm] verhält.
Daraus wird dann gefolgert, dass das Integral für [mm] s\in\IC [/mm] mit Re(s)>-n konvergiert und dort eine holomorphe Funktion darstellt.
Diesen letzten Schritt verstehe ich leider nicht.
Irgendwie denke ich es müsste [mm] Re(s)\ge [/mm] -n+1 heißen. Denn mit [mm] Re(s)=-n+\delta, \delta\in(0,1) [/mm] erhält man ja, dass sich der Integrand für [mm] t\to0 [/mm] wie [mm] O(t^{\delta-1}) [/mm] verhält. Aber [mm] t^{\delta-1} [/mm] geht doch gegen [mm] \infty [/mm] für [mm] t\to0.
[/mm]
Bringe ich irgendwas mit den Landau-Symbolen durcheinander?
Und irgendwie versteh ich grad nicht, warum ich dann eine holomorphe Funktion habe. Ich mein es gibt keine Singularitäten, da das Integral existiert und konvergiert, nach obiger Aussage. Außerdem wird nirgends durch Nullgeteilt auf dem Integrationsweg und der Integrand ist stetig als Zusammensetzung stetiger Funktionen. Reicht das schon aus?
Ich wäre wirklich äußerst dankbar, wenn mir jemand meinen Denkfehler aufzeigen würde!
Beste Grüße!
skoopa
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> Hey!
> Ich hab ein Problem beim Verständnis eines Beweises.
> Und zwar ist die Situation folgende:
> Wir haben ein Integral
>
> [mm]I_{1}(s)=\integral_{0}^{\infty}{(\bruch{te^{t}}{e^{t}-1}-f_{n}(t))e^{-t}t^{s-2} dt}[/mm]
>
> mit [mm]s\in\IC[/mm] einem Polynom [mm]f_{n}(t)=O(t^{n+1})[/mm] für [mm]t\to0.[/mm]
> Von dem sollen wir nun zeigen, dass es für alle [mm]s\in\IC[/mm]
> mit Re(s)>-n konvergiert und eine holomorphe Funktion
> darstellt.
> Jetzt steht hier, dass der Integrand für [mm]t\to\infty[/mm]
> exponentiell klein wird, was klar ist, wegen der e-Funktion
> im Nenner. Und weiter, dass sich der Integrand für [mm]t\to0[/mm]
> wie [mm]O(t^{n+Re(s)-1})[/mm] verhält.
> Daraus wird dann gefolgert, dass das Integral für [mm]s\in\IC[/mm]
> mit Re(s)>-n konvergiert und dort eine holomorphe Funktion
> darstellt.
> Diesen letzten Schritt verstehe ich leider nicht.
> Irgendwie denke ich es müsste [mm]Re(s)\ge[/mm] -n+1 heißen. Denn
> mit [mm]Re(s)=-n+\delta, \delta\in(0,1)[/mm] erhält man ja, dass
> sich der Integrand für [mm]t\to0[/mm] wie [mm]O(t^{\delta-1})[/mm] verhält.
> Aber [mm]t^{\delta-1}[/mm] geht doch gegen [mm]\infty[/mm] für [mm]t\to0.[/mm]
> Bringe ich irgendwas mit den Landau-Symbolen
> durcheinander?
Das liegt daran, dass für [mm] \delta>0 [/mm] das uneigentliche Integral [mm] \int_0^1t^{\delta-1}dt [/mm] existiert.
> Und irgendwie versteh ich grad nicht, warum ich dann eine
> holomorphe Funktion habe. Ich mein es gibt keine
> Singularitäten, da das Integral existiert und konvergiert,
> nach obiger Aussage. Außerdem wird nirgends durch
> Nullgeteilt auf dem Integrationsweg und der Integrand ist
> stetig als Zusammensetzung stetiger Funktionen. Reicht das
> schon aus?
> Ich wäre wirklich äußerst dankbar, wenn mir jemand
> meinen Denkfehler aufzeigen würde!
> Beste Grüße!
> skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Fr 11.11.2011 | | Autor: | skoopa |
Hei donquijote!
Danke für die Antwort!
Sie hat das Brett vor meinem Kopf erfolgreich zu Kleinholz verarbeitet.
Beste Grüße!
skoopa
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