Existenz eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Do 22.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
| Aufgabe | Begründen sie die Existenz des uneigentlichen Integrals
I=[mm]\int_{1/2}^{1}\bruch{dx}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
und bestimmen sie die rationale Zahl I/[mm] \pi [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bitte kurz um Überprüfung ob mein Rechenweg richtig ist.
Ich habe zuerst die NST des Nenners berechnet x= +/- 1
So nun die Begründung
[mm]\lim_{n \to \+1}\bruch{1}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
das geht nicht, da der Nenner gegen 0 geht und es somit 1/0 heißen würde - Daher L'Hospital anwenden
[mm]\lim_{n \to \+1}\bruch{0}{x(1-x²)^-1/2}[/mm]
- jetzt geht das ganze gegen 0
Das gleiche jetzt für -1
[mm]\lim_{n \to \-11}\bruch{1}{\wurzel{1-x²}}[/mm] wieder L'Hospital
[mm]\lim_{n \to \-1}\bruch{0}{x(1-x²)^-1/2}[/mm] - geht auch gegen 0
Damit ist die Funktion stetig und das Integral existiert.
I/ [mm] \pi [/mm]
Integral berechnen....
I=[arsin(x)] Grenzen: 1 und 1/2
I= 1/2 [mm] \pi [/mm] - 1/6 [mm] \pi [/mm] = 1/3 [mm] \pi [/mm]
I/[mm] \pi [/mm] = 1/3
Ich hoffe ich hab die Frage damit gelöst. Könnte das jemand bitte überprüfen.
Vielen Dank schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Begründen sie die Existenz des uneigentlichen Integrals
> I=[mm]\int_{1/2}^{1}\bruch{dx}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
> und bestimmen sie die rationale Zahl I/[mm] \pi[/mm]
> Hallo
> zusammen,
> ich bitte kurz um Überprüfung ob mein Rechenweg richtig
> ist.
>
> Ich habe zuerst die NST des Nenners berechnet x= +/- 1
Wobei -1 völlig uninteressant ist !
> So nun die Begründung
>
> [mm]\lim_{n \to \+1}\bruch{1}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
>
> das geht nicht, da der Nenner gegen 0 geht und es somit 1/0
> heißen würde - Daher L'Hospital anwenden
Nein ! L'Hospital nur bei Ausdrücken der Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
>
> [mm]\lim_{n \to \+1}\bruch{0}{x(1-x²)^-1/2}[/mm]
>
> - jetzt geht das ganze gegen 0
>
> Das gleiche jetzt für -1
Siehe oben
>
> [mm]\lim_{n \to \-11}\bruch{1}{\wurzel{1-x²}}[/mm] wieder
> L'Hospital
>
> [mm]\lim_{n \to \-1}\bruch{0}{x(1-x²)^-1/2}[/mm] - geht auch gegen
> 0
>
> Damit ist die Funktion stetig und das Integral existiert.
Das hast Du nicht gezeigt !
>
> I/ [mm]\pi[/mm]
>
> Integral berechnen....
> I=[arsin(x)] Grenzen: 1 und 1/2
>
> I= 1/2 [mm]\pi[/mm] - 1/6 [mm]\pi[/mm] = 1/3 [mm]\pi[/mm]
>
> I/[mm] \pi[/mm] = 1/3
Das ist einigermaßen O.K.
Besser wäre: berechne für 1/2<a<1 das integral
$ [mm] \int_{1/2}^{a}\bruch{dx}{\wurzel{1-x²}} [/mm] $,
und schaue nach ob der Grenzwert
[mm] $\limes_{a\rightarrow 1} \int_{1/2}^{a}\bruch{dx}{\wurzel{1-x²}} [/mm] $
existiert. Wenn ja, hast Du die Ex. des uneig. Integrals gezeigt und der Grenzwert ist der Wert des Integrals.
FRED
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> Ich hoffe ich hab die Frage damit gelöst. Könnte das jemand
> bitte überprüfen.
>
> Vielen Dank schon mal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Do 22.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
Das heißt ich muss als erstes das Integral berechnen
also
I= [arcsin (x)] Grenzen a und 1/2
I= arcsin (a) - arcsin (1/2)
und dann
I=[mm]\lim_{a \to 1} arcsin (a) - arcsin (1/2)[/mm] = geht gegen 1/3 [mm]\pi[/mm]
so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Do 22.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
Dankeschön
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