Existenz eines Fixpunktes < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Do 22.03.2007 | | Autor: | Tiffany |
| Aufgabe | Gegeben: $y''y + [mm] (y')^3 [/mm] = 0$ mit den Bedingungen $y(0) = 1$ und $y'(0) = 1$
Aufgabe:
a) Zeige die Existenz eines Fixpunktes [mm] $\tau [/mm] > 0$, d. h. [mm] $y(\tau) [/mm] = [mm] \tau$ [/mm] (Zusatz: [mm] $\tau$ [/mm] bestimmen)
b) Existiert $y$ auf ganz [mm] $\IR$? [/mm] |
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob man das ohne Kenntnis der Lösung zeigen kann. Ich schaffe es noch nicht mal, die Ordnung der DGL zu reduzieren (mit Substitution bin ich nicht sehr weit gekommen).
Tiffany
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Do 22.03.2007 | | Autor: | riwe |
wäre das eine möglichkeit?
[mm] y^\prime^\prime=\frac{dy^\prime}{dx}=\frac{dy^\prime}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{dy^\prime}{dy}\cdot y^\prime
[/mm]
einsetzen ergibt
[mm] y^\prime(\frac{dy^\prime}{dy}\cdot y+(y^\prime)²)=0\to y^\prime=0\to [/mm] y=C
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Do 22.03.2007 | | Autor: | Tiffany |
Du hast $y'$ ausgeklammert, was gar nicht geht (in der DGL steht $y$).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Do 22.03.2007 | | Autor: | Tiffany |
Sorry, die Umformung stimmt, aber es könnte doch auch sein, daß
[mm] $\frac{dy^\prime}{dy}\cdot y+(y^\prime)²=0$
[/mm]
$y' = 0$ beißt sich doch mit dem gegebenen Anfangswert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 22.03.2007 | | Autor: | riwe |
ein produkt ist null......
ja beißt sich mit den anfangsbedingungen.
dann mußt du halt versuchen den "2. faktor = 0" zu lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Do 22.03.2007 | | Autor: | wauwau |
nur kurze Überlegung, um die windigen der beiden anderen vergessen zu lassen:
[mm] y''y + (y')^{3} = 0 [/mm] mit y(0)=y'(0)=1
[mm](\bruch{y}{y'})' = \bruch{(y')^{2}-y*y''}{(y')^{2}}[/mm]
und daraus
[mm]y*y'' = (y')^{2} * ( 1 - (\bruch{y}{y'})') [/mm]
das in die urprüngliche Glg eingesetzt ergibt
[mm] (y')^{2} * ( 1 - (\bruch{y}{y'})' + y') = 0[/mm]
da nun wg. Anfangsbedinungen y' [mm] \not= [/mm] 0 sein muss
bleibt nun
[mm]( 1 - (\bruch{y}{y'})' + y') = 0 [/mm]
oder
[mm]1 + y' = (\bruch{y}{y'})'[/mm]
beide Seiten integriert ergibt
[mm]x + y + C = \bruch{y}{y'}[/mm]
weg Anfangsbed.
[mm] 0 + 1 + C = 1[/mm] folgt [mm]C = 0[/mm]
daher
[mm](x+y)*y' = y[/mm]
was eine wesentlich einfachere Differentialgleichung als die ursprüngliche ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Do 22.03.2007 | | Autor: | riwe |
> nur kurze Überlegung, um die windigen der beiden anderen
> vergessen zu lassen:
>
> [mm]y''y + (y')^{3} = 0[/mm] mit y(0)=y'(0)=1
>
> [mm](\bruch{y}{y'})' = \bruch{(y')^{2}-y*y''}{(y')^{2}}[/mm]
>
> und daraus
>
> [mm]y*y'' = (y')^{2} * ( 1 - (\bruch{y}{y'})')[/mm]
>
> das in die urprüngliche Glg eingesetzt ergibt
>
> [mm](y')^{2} * ( 1 - (\bruch{y}{y'})' + y') = 0[/mm]
>
> da nun wg. Anfangsbedinungen y' [mm]\not=[/mm] 0 sein muss
> bleibt nun
>
> [mm]( 1 - (\bruch{y}{y'})' + y') = 0[/mm]
>
> oder
>
> [mm]1 + y' = (\bruch{y}{y'})'[/mm]
>
>
> beide Seiten integriert ergibt
>
> [mm]x + y + C = \bruch{y}{y'}[/mm]
>
>
> weg Anfangsbed.
> [mm]0 + 1 + C = 1[/mm] folgt [mm]C = 0[/mm]
>
>
> daher
>
> [mm](x+y)*y' = y[/mm]
>
>
> was eine wesentlich einfachere Differentialgleichung als
> die ursprüngliche ist.
>
zumindest große töne gespuckt
auch ein linzer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Do 22.03.2007 | | Autor: | Tiffany |
Interessante Methode - sieht wie partielle Integration aus (muß man sich merken...)
Für [mm] $\tau$ [/mm] soll angeblich [mm] $\tau [/mm] = e$ gelten, habe aber keinen blassen Schimmer wie man das zeigt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 So 25.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Ich habe mir die Aufgabe nochmal kurz angeschaut:
[mm]y''*y +(y')^{3} = 0[/mm]
da y' im allg. nicht gleich die konst. 0 Funktion ist wg. der anfangswerte, dividiere ich beide Seiten durch [mm](y')^{2}[/mm]
[mm] \bruch{y''*y}{(y')^{2}} + y' = 0[/mm]
oder aber
[mm] - (\bruch{1}{y'})'*y = -y' [/mm]
[mm](\bruch{1}{y'})' = \bruch{y'}{y} = (ln(y))' [/mm]
Beide Seiten integriert
[mm]\bruch{1}{y'} = ln(y) + C[/mm]
Anfangswert ergibt [mm]C = 1[/mm]
weiters:
[mm]1 = y'*ln(y) + y'[/mm]
jetzt ist aber [mm](y*ln(y) -y)' = y'*ln(y)[/mm]
daher beide Seiten von oben integriert
[mm]x + D = y*ln(y) - y + y = y*ln(y)[/mm]
Nebenbed. ergibt [mm]D = 0[/mm]
daher erfüllt die Fuktion die folg. Gleichung
[mm]x = y*ln(y)[/mm]
daher Fixpunkt [mm]x = x*ln(x) [/mm]
und daher [mm]x=e[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 So 25.03.2007 | | Autor: | riwe |
das bekommt man aber ganz einfach mit der windigen methode durch trennung der variablen.
[mm]-\frac{dy^\prime}{dy}=\frac{dy}{y}\to \frac{1}{y^\prime}=K_1\cdot lny[/mm]
[mm]dx=K_1\integral_{}^{}{ln y \cdot dy}\to x=K_1y(ln y -1)+K_2[/mm]
anfangsbedingungen einsetzen ergibt windig gerechnet:
[mm]x= y \cdot ln y[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 So 25.03.2007 | | Autor: | wauwau |
> [mm]-\frac{dy^\prime}{dy}=\frac{dy}{y}\to \frac{1}{y^\prime}=K_1\cdot lny[/mm]
und woher folgt das aus deinem Ansatz in der 1. Mitteilung, da hast du ja bloss y=const. gefolgert!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 So 25.03.2007 | | Autor: | riwe |
> > [mm]-\frac{dy^\prime}{dy}=\frac{dy}{y}\to \frac{1}{y^\prime}=K_1\cdot lny[/mm]
>
> und woher folgt das aus deinem Ansatz in der 1. Mitteilung,
> da hast du ja bloss y=const. gefolgert!!
mußt halt genauer lesen.
das ist doch nur der eine faktor des produktes.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Mo 26.03.2007 | | Autor: | wauwau |
udn dein 2. Faktor
[mm] \bruch{dy'}{dy}*y [/mm] + [mm] (y')^{2} [/mm] = 0
und wie gehts jetzt weiter - interessiert mich echt....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 So 25.03.2007 | | Autor: | Tiffany |
Hi,
Danke für die vielen Antworten. Ich bin von dem Ergebnis
$(x+y)*y' = y$
weiter oben ausgegangen und habe dann nach Umstellen
[mm] $\bruch{y'}{y} [/mm] = [mm] \bruch{y-xy'}{y^2} [/mm] = [mm] \left(\bruch{x}{y}\right)'$
[/mm]
erhalten, integrieren liefert
[mm] $\bruch{x}{y} [/mm] = [mm] \ln(y)$
[/mm]
und damit die Lösung.
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