Existenz Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
es sei [mm] [0,1]^2 [/mm] = [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1] und
f : [mm] [0,1]^2 \to \IR [/mm] definiert durch
f(x,y) := [mm] \begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}\in[0,1]^2 \backslash \{ \vektor{0 \\ 0} \}, \\ 0, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}\end{cases}
[/mm]
Es wird gefragt, ob das Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy})dx}
[/mm]
existiert. Und wenn nein: Warum nicht.
Wenn ja, dann soll man den Wert berechnen.
Kann ich hier nun "einfach" den Wert ausrechnen oder muss
man zuerst begründen, warum das Integral existiert? (Und wenn ja, wie) ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Irgendwie hapert es da gerade bei mir ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Danke für Tipps,
Anna
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn du einen Wert ausrechnen kannst, dann existiert das Integral auch - is doch klar, ne ^^
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> es sei [mm][0,1]^2[/mm] = [0,1] [mm]\times[/mm] [0,1] und
> f : [mm][0,1]^2 \to \IR[/mm] definiert durch
> f(x,y) := [mm]\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}\in[0,1]^2 \backslash \{ \vektor{0 \\ 0} \}, \\ 0, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}\end{cases}[/mm]
>
> Es wird gefragt, ob das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy})dx}[/mm]
>
> existiert. Und wenn nein: Warum nicht.
> Wenn ja, dann soll man den Wert berechnen.
>
> Kann ich hier nun "einfach" den Wert ausrechnen
Bei $(0,0)$ wird das Verhalten dieser Funktion sehr problematisch. Dies sieht man am besten, wenn man den Funktionsterm in Polarkoordinaten [mm] $x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)$ [/mm] übersetzt:
[mm]f(x)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{r^2\cos^2(\varphi)-r^2\sin^2(\varphi)}{(r^2\cos^2(\varphi)+r^2\sin^2(\varphi))^2}=\frac{\cos(2\varphi)}{r^2}[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen gilt wegen [mm] $\cos(2\varphi)=\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)$ [/mm] ("Doppelwinkelsatz").
Das uneigentliche Integral [mm] $\int_0^1\frac{1}{r^2}\; [/mm] dr$ existiert nicht (bzw. hat den "Wert" [mm] $+\infty$): [/mm] also ist zu vermuten, dass auch das Integral von $f$ über [mm] $[0;1]^2$ [/mm] nicht existieren wird.
Da nur das Integral über eine in [mm] $[0;1]^2$ [/mm] enthaltene Umgebung von $(0,0)$, also zum Beispiel den Einheitskreis, für die Existenz des Integrals entscheidend ist, würde es genügen zu zeigen, dass das Integral von $f$ über dieser Kreisscheibe nicht existiert.
> oder muss
> man zuerst begründen, warum das Integral existiert?
Müsstest Du nicht - aber es existiert nicht...
|
|
|
| |
|
Hallo Somebody,
DANKE für Deine Antwort. Puh, ich glaube da habe ich noch so einige
Probleme in dieser Thematik ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]") .
> > es sei [mm][0,1]^2[/mm] = [0,1] [mm]\times[/mm] [0,1] und
> > f : [mm][0,1]^2 \to \IR[/mm] definiert durch
> > f(x,y) := [mm]\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}\in[0,1]^2 \backslash \{ \vektor{0 \\ 0} \}, \\ 0, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}\end{cases}[/mm]
>
> >
> > Es wird gefragt, ob das Integral
> > [mm]\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy})dx}[/mm]
> >
> > existiert. Und wenn nein: Warum nicht.
> > Wenn ja, dann soll man den Wert berechnen.
> >
> > Kann ich hier nun "einfach" den Wert ausrechnen
>
> Bei [mm](0,0)[/mm] wird das Verhalten dieser Funktion sehr
> problematisch. Dies sieht man am besten, wenn man den
> Funktionsterm in Polarkoordinaten [mm]x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)[/mm]
> übersetzt:
>
> [mm]f(x)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{r^2\cos^2(\varphi)-r^2\sin^2(\varphi)}{(r^2\cos^2(\varphi)+r^2\sin^2(\varphi))^2}=\frac{\cos(2\varphi)}{r^2}[/mm]
>
> Das letzte Gleichheitszeichen gilt wegen
> [mm]\cos(2\varphi)=\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)[/mm]
> ("Doppelwinkelsatz").
>
> Das uneigentliche Integral [mm]\int_0^1\frac{1}{r^2}\; dr[/mm]
Wie kommst Du jetzt auf [mm] \frac{1}{r^2}\; [/mm] ? [mm] cos(2\varphi)=1?
[/mm]
> existiert nicht (bzw. hat den "Wert" [mm]+\infty[/mm]): also ist zu
> vermuten, dass auch das Integral von [mm]f[/mm] über [mm][0;1]^2[/mm] nicht
> existieren wird.
Und somit z.B. auch nicht
[mm] \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dx})dy}
[/mm]
oder
[mm] \integral_{[0,1]^2}{f(x,y)d(x,y)}
[/mm]
welches ja nach Fubini = dem erstgenannten Integral von mir ist.
Habe ich das so richtig verstanden?
> Da nur das Integral über eine in [mm][0;1]^2[/mm] enthaltene
> Umgebung von [mm](0,0)[/mm], also zum Beispiel den Einheitskreis,
> für die Existenz des Integrals entscheidend ist, würde es
> genügen zu zeigen, dass das Integral von [mm]f[/mm] über dieser
> Kreisscheibe nicht existiert.
Jetzt stellt sich nur die Frage wie. Ich grübel schon.
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Dass das Integral [mm] \integral_{K_{\epsilon}(0)}{\frac{cos(2\phi)}{r} d(r,\phi)} [/mm] nicht existiert (bzw. den Wert [mm] +\infty [/mm] annimmst) reicht mMn aus als Begründung, denn du willst ja über [mm](x,y)\in [0,1]^2[/mm] integrieren und da deine Funktion rotationssymmetrisch ist, ist es in diesem Fall egal, dass du über den kompletten Kreis integriert hast (also auch die anderen drei Quadranten erwischst).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo,
irgendwie verstehe ich das gerade alles nicht wirklich :-(
Ich werde mir das später aber noch einmal in Ruhe durch den
Kopf gehen lassen.
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo,
>
> irgendwie verstehe ich das gerade alles nicht wirklich :-(
>
> Ich werde mir das später aber noch einmal in Ruhe durch
> den
> Kopf gehen lassen.
Dies ist sicher eine gute Idee. Es tut mir leid, dass ich mit meiner ersten, irgendwie missverständlich (wenn nicht gar falsch) formulierten Antwort, unnötig Verwirrung gestiftet haben sollte.
Das was ich in verschiedenen Beiträgen geschrieben habe zusammenfassend, möchte ich Dir einfach sagen: wenn man nur das Integral von $f$ über einen Teilbereich von [mm] $[0;1]^2$ [/mm] betrachtet, nämlich über den Kreissektor mit Radius $1$ und Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] von $0$ bis [mm] $\frac{\pi}{8}$, [/mm] dann sieht man: dieses Integral divergiert (wie der Übergang zu Polarkoordinaten zeigt):
[mm]\int\limits_0^1\int\limits_0^{\pi/8}\frac{\cos(2\varphi)}{r^2}r\;d\varphi\; dr\geq \frac{\pi}{8\sqrt{2}}\int\limits_0^1\frac{1}{r}\; dr=+\infty[/mm]
Das Ungleichheitszeichen gilt, weil für [mm] $\varphi\in[0;\pi/8]$ [/mm] gilt [mm] $\cos(2\varphi)\geq \cos(\pi/4)=1/\sqrt{2}$.
[/mm]
Wenn aber das Integral von $f$ über diesen Teilbereich von [mm] $[0;1]^2$ [/mm] nicht existiert, dann existiert es auf ganz [mm] $[0;1]^2$ [/mm] erst recht nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:16 Di 15.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Somebody,
vielen Dank für Deine Antwort (und natürlich auch an Merle).
Ich habe mir die ganze Diskussion noch mehrmals durchgelesen
und versucht zu verstehen. So ganz den Durchblick habe ich immer noch
nicht. Aber ich wollte mal fragen, ob ich das als Konsequenz nun richtig
verstanden habe. Also:
Es sei [mm] [0,1]^2 [/mm] = [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1] und
f : [mm] [0,1]^2 \to \IR [/mm] definiert durch
f(x,y) := [mm] \begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}\in[0,1]^2 \backslash \{ \vektor{0 \\ 0} \}, \\ 0, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}\end{cases}
[/mm]
Es wird gefragt, ob das Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy})dx}
[/mm]
existiert.
Dies ist nicht der Fall. Zwar ist [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1] kompakt und nichtleer
und sowohl [mm] \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm] als auch 0 sind für sich stetig,
Aber [mm] f|_{[0,1]^2} [/mm] ist nicht stetig (da f unstetig in [mm] \vektor{0\\0} [/mm] ist). Also
auch Fubini ist nicht anwendbar.
Betrachtet man das Integral von f über den von Dir genannten
Kreissektor mit Radius 1 und Winkel [mm] \varphi [/mm] von 0 bis [mm] \bruch{\pi}{8},
[/mm]
dann sieht man (u.a. an den Polarkoordinaten), dass dieses Integral divergiert.
Und somit existiert dieses Integral nicht für diesen Teilbereich und daher
erst recht nicht auf [mm] [0,1]^2.
[/mm]
Das heißt weiter, dass weder
[mm] \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy})dx}
[/mm]
noch
[mm] \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dx})dy}
[/mm]
noch
[mm] \integral_{[0,1]^2}{f(x,y) d(x,y)}
[/mm]
existieren können.
Ist das so?
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Di 15.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo Somebody,
>
> vielen Dank für Deine Antwort (und natürlich auch an
> Merle).
> Ich habe mir die ganze Diskussion noch mehrmals
> durchgelesen
> und versucht zu verstehen. So ganz den Durchblick habe ich
> immer noch
> nicht. Aber ich wollte mal fragen, ob ich das als
> Konsequenz nun richtig
> verstanden habe. Also:
So den Durchblick hab ich z.Z. auch nicht mehr, da der Thread schon ziemlich ausgewuchert ist. Siehe vor allem auch meine Antwort weiter unten.
> Es sei [mm][0,1]^2[/mm] = [0,1] [mm]\times[/mm] [0,1] und
> f : [mm][0,1]^2 \to \IR[/mm] definiert durch
> f(x,y) := [mm]\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}\in[0,1]^2 \backslash \{ \vektor{0 \\ 0} \}, \\ 0, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}\end{cases}[/mm]
>
> Es wird gefragt, ob das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy})dx}[/mm]
>
> existiert.
>
> Dies ist nicht der Fall. Zwar ist [0,1] [mm]\times[/mm] [0,1]
> kompakt und nichtleer
> und sowohl [mm]\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm] als auch 0 sind
> für sich stetig,
> Aber [mm]f|_{[0,1]^2}[/mm] ist nicht stetig (da f unstetig in
> [mm]\vektor{0\\0}[/mm] ist). Also
> auch Fubini ist nicht anwendbar.
Im Satz von Fubini/Tonelli wird nirgends die Stetigkeit erwähnt. Es geht immer nur um Integrierbarkeit. Auch auf nicht stetige Funktionen sind die Sätze anwendbar.
> Betrachtet man das Integral von f über den von Dir
> genannten
> Kreissektor mit Radius 1 und Winkel [mm]\varphi[/mm] von 0 bis
> [mm]\bruch{\pi}{8},[/mm]
> dann sieht man (u.a. an den Polarkoordinaten), dass dieses
> Integral divergiert.
> Und somit existiert dieses Integral nicht für diesen
> Teilbereich und daher
> erst recht nicht auf [mm][0,1]^2.[/mm]
> Das heißt weiter, dass weder
> [mm]\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy})dx}[/mm]
> noch
> [mm]\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dx})dy}[/mm]
> noch
> [mm]\integral_{[0,1]^2}{f(x,y) d(x,y)}[/mm]
> existieren können.
>
Ok, hier kommt der Punkt an dem es kompliziert wird. Bisher haben wir (Somebody und ich) versucht zu zeigen, dass die Funktion nicht bzgl. des Produktmaßes integrierbar ist (was wir auch wohl geschafft haben), d.h. das Integral [mm]\integral_{x\in [0,1]^2}{f(x) dx}[/mm] existiert nicht.
Und die ganzen Sätze (also Fubini und Tonelli) drehen sich eigentlich nur darum.
Du sollst aber nur zeigen, ob [mm]\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy})dx}[/mm] existiert. Und das kann auch existieren, wenn die Sätze (Fubini + Tonelli) verletzt sind. Das heisst dann zwar, dass die Funktion nicht bzgl. des Produkmaßes integrierbar ist, und wenn du die Integrationsreihenfolge vertauschst, dass dann ein anderer Wert rauskommen könnte, aber das ist erstmal in dieser Aufgabe nebensächlich.
Und wie gesagt... mein Mathematica spuckt bei dem iterierten Integral einen Wert aus. Also wird es wohl sogar existieren und wir haben dich mit unseren bisherigen Antworten verwirrt - Sorry.
> Ist das so?
>
> Danke,
> Anna
>
>
|
|
|
| |
|
> Hallo Somebody,
>
> vielen Dank für Deine Antwort (und natürlich auch an
> Merle).
> Ich habe mir die ganze Diskussion noch mehrmals
> durchgelesen
> und versucht zu verstehen. So ganz den Durchblick habe ich
> immer noch
> nicht. Aber ich wollte mal fragen, ob ich das als
> Konsequenz nun richtig
> verstanden habe. Also:
> Es sei [mm][0,1]^2[/mm] = [0,1] [mm]\times[/mm] [0,1] und
> f : [mm][0,1]^2 \to \IR[/mm] definiert durch
> f(x,y) := [mm]\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}\in[0,1]^2 \backslash \{ \vektor{0 \\ 0} \}, \\ 0, & \mbox{falls } \vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}\end{cases}[/mm]
>
> Es wird gefragt, ob das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy})dx}[/mm]
>
> existiert.
Nicht, ob das Integral bezüglich dem Produktmass existiert? - In diesem Falle muss ich nochmals hinter die Bücher, denn was ich bisher gefaselt habe, bedeutet nur, dass das Integral bezüglich dem Produktmass nicht existiert.
Aber das iterierte Integral, exakt in dieser Reihenfolge: äusseres Integral nach $dx$, inneres nach $dy$, ist wieder eine andere Frage, denn es ist
[mm]\integral_0^1\integral_0^1 f(x,y)\;dy\;dx = \integral_0^1\integral_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\;dy\;dx = \integral_0^1\frac{1}{1+x^2}\; dx = \frac{\pi}{4}[/mm]
Wobei ich mir das innere Integral von einem CAS habe ausrechnen lassen. Wie dies genau zu zeigen ist, ist wieder eine andere Frage. - Aber vielleicht braucht man es gar nicht exakt auszurechnen: es würde genügen zu zeigen, dass der Betrag des inneren Integrals für $x>0$ nicht grösser als $1$ ist (was jedenfalls, wenn das CAS recht hat, der Fall ist).
Für $x=0$ würde natürlich das innere Integral nicht existieren. Aber für $x>0$ schon, und es scheint dort soweit harmlos, dass der Limes für die untere Grenze [mm] $\rightarrow [/mm] 0+$ des äusseren Integrals existiert.
Moral von der Geschicht': es geht nichts über sorgfältiges Lesen der Aufgabenstellung (ich gehe in mich...).
Nachtrag (1. Revision): Man kann das innere Integral, unter der Annahme $x>0$ konstant, mit der Substitution [mm] $y=x\cdot \tan(\alpha)$ [/mm] berechnen. Dann ist $dy = [mm] x(1+\tan^2(\alpha))\;d\alpha$ [/mm] und daher
[mm]\begin{array}{lcll}
\displaystyle\integral_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\; dy &=& \displaystyle \integral_0^{\arctan\frac{1}{x}}\frac{x^2-x^2\tan^2(\alpha)}{(x^2+x^2\tan^2(\alpha))^2}\cdot x(1+\tan^2(\alpha))\; d\alpha\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\cdot\integral_0^{\arctan\frac{1}{x}}\frac{1-\tan^2(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}\; d\alpha\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\cdot\integral_0^{\arctan\frac{1}{x}}\frac{\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}\; d\alpha\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\cdot\integral_0^{\arctan\frac{1}{x}}\cos(2\alpha)\;d\alpha\\
&=& \displaystyle\frac{1}{x}\cdot\Big[\frac{1}{2}\sin(2\alpha)\Big]_{\alpha=0}^{\arctan\frac{1}{x}}\\
&=& \displaystyle\frac{1}{x}\cdot\Big[\cos(\alpha)\sin(\alpha)\Big]_{\alpha=0}^{\arctan\frac{1}{x}}\\[.3cm]
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{1+x^2}
\end{array}[/mm]
Dass [mm] $\cos(\arctan(1/x))=x/\sqrt{x^2+1}$ [/mm] ist, überlegt man sich leicht geometrisch/anschaulich an einem rechtwinkligen Dreieck mit Ankathete $x$ und Gegenkathete $1$. Analog für [mm] $\sin(\arctan(1/x))=1/\sqrt{x^2+1}$.
[/mm]
Dass das innere Integral für $x=0$ nicht existiert, spielt keine Rolle, weil dies für das äussere Integral eh nur eine Nullmenge ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:32 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du hast vergessen die Determinante der Transformationsmatrix mit einzuberechnen. Es müsste [mm] \integral{\frac{1}{r} dr} [/mm] heissen (da Det(Jacobi) = r) - ändert aber nix an der nicht-integrierbarkeit des Integrals.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 19:27 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Du hast vergessen die Determinante der
> Transformationsmatrix mit einzuberechnen. Es müsste
> [mm]\integral{\frac{1}{r} dr}[/mm] heissen (da Det(Jacobi) = r) -
> ändert aber nix an der nicht-integrierbarkeit des
> Integrals.
Im Prinzip hast Du recht: wenn ich mit dem Integral [mm] $\int_0^1\frac{1}{r^2}\;dr$ [/mm] tatsächlich das Integral von $f$ über den Einheitskreis hätte berechnen wollen (dann würde natürlich auch der Zähler [mm] $\cos(2\varphi)$ [/mm] und die Integration bezüglich [mm] $\varphi$ [/mm] fehlen). Aber ich wollte eigentlich mit dem Hinweis auf die Nichtexistenz des Integrals [mm] $\int_0^1\frac{1}{r^2}\; [/mm] dr$ nur einen "Verdacht auf Nichtexistenz" des Integrals von $f$ über $[0;1]$ formulieren und den Rest erst einmal der Anna-Lyse überlassen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Hä? Mein Mathematica gibt mir als Integral pi/4 aus. Komisch.
edit: Ich glaub das liegt an meiner eigenen Dummheit. Irgendwie krieg' ich das nicht ordentlich eingegeben, glaub ich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hä? Mein Mathematica gibt mir als Integral pi/4 aus.
> Komisch.
>
> edit: Ich glaub das liegt an meiner eigenen Dummheit.
> Irgendwie krieg' ich das nicht ordentlich eingegeben, glaub
> ich.
Ich fürchte: das fragliche Integral existiert möglicherweise doch (so recht glauben mag ich dies noch nicht: siehe unten). Denn da ist noch der Faktor [mm] $\cos(2\varphi)$ [/mm] im Zähler. Wenn man den über $0$ bis [mm] $2\pi$ [/mm] integriert wird das natürlich gleich $0$.
Ich denke, ich hätte gleich von Anfang an die ja hinreichend auffällige Eigenschaft $f(x,y)=-f(y,x)$ von $f$ ins Auge fassen sollen.
Jedenfalls scheint mein Versuch, die Existenz des Integrals zu widerlegen eher Müll zu sein. Also?
Wenn man nur einen geeigneten Kreissektor, sagen wir für [mm] $\varphi$ [/mm] von $0$ bis [mm] $\frac{\pi}{8}$, [/mm] integriert, liesse sich aber der Integrand [mm] $\frac{\cos(2\varphi)}{r}$ [/mm] von unten durch [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}r}$ [/mm] beschränken, und dann sollte doch das Integral von $f$ für diesen Teil der Einheitskreisscheibe nicht existieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] \integral_{r\in [0,1],\phi\in [0,\frac{\pi}{2}]}{\frac{cos(2\phi)}{r} d(r,\phi)}=\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(2\phi)\integral_{0}^{1}{\frac{1}{r} dr} d\phi}=\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(2\phi)*\infty d\phi}.
[/mm]
Und dabei ist ja [mm] r\in [0,1],\phi\in [0,\frac{\pi}{2}] [/mm] nur ein Teil von [mm] [0,1]^2.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> [mm]\integral_{r\in [0,1],\phi\in [0,\frac{\pi}{2}]}{\frac{cos(2\phi)}{r} d(r,\phi)}=\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(2\phi)\integral_{0}^{1}{\frac{1}{r} dr} d\phi}=\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(2\phi)*\infty d\phi}.[/mm]
Na, dieses Integral ist genau genommen noch problematisch, da die Integration von [mm] $\cos(2\varphi)$ [/mm] über [mm] $[0;\pi/2]$, [/mm] für sich alleine, eigentlich $0$ ergibt. Daher meine Empfehlung, sich auf einen genügend kleinen Sektor, wie [mm] $\varphi\in[0;\pi/4]$, [/mm] zu beschränken, auf dem das Integral von $f$ klar divergiert.
>
> Und dabei ist ja [mm]r\in [0,1],\phi\in [0,\frac{\pi}{2}][/mm] nur
> ein Teil von [mm][0,1]^2.[/mm]
Nachtrag (1. Revision):
Ich merke gerade, dass ich ein Durcheinander bezüglich dem Integrationsbereich gemacht habe, man muss ja [mm] $\varphi$ [/mm] nur von $0$ bis [mm] $\pi/2$ [/mm] gehen lassen, wie Du richtig bemerkst. Also ja, ich denke es ist klar, das Integral existiert nicht, weil es schon auf einem Teilgebiet von [mm] $[0;1]^2$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$ [/mm] divergiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > [mm]\integral_{r\in [0,1],\phi\in [0,\frac{\pi}{2}]}{\frac{cos(2\phi)}{r} d(r,\phi)}=\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(2\phi)\integral_{0}^{1}{\frac{1}{r} dr} d\phi}=\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(2\phi)*\infty d\phi}.[/mm]
>
> Na, dieses Integral ist genau genommen noch problematisch,
> da die Integration von [mm]\cos(2\varphi)[/mm] über [mm][0;\pi/2][/mm], für
> sich alleine, eigentlich [mm]0[/mm] ergibt.
Nach dem ![[]](/images/popup.gif) Satz von Tonelli existiert das Integral bzgl. des Produktmaßes, falls eines der beiden iterierten Integrale existiert. Und hier existiert das iterierte Integral eindeutig nicht (das [mm] cos(2\phi) [/mm] kann man ja als Konstante rausziehen aus dem inneren Integral).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:18 Di 15.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> > > [mm]\integral_{r\in [0,1],\phi\in [0,\frac{\pi}{2}]}{\frac{cos(2\phi)}{r} d(r,\phi)}=\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(2\phi)\integral_{0}^{1}{\frac{1}{r} dr} d\phi}=\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(2\phi)*\infty d\phi}.[/mm]
>
> >
> > Na, dieses Integral ist genau genommen noch problematisch,
> > da die Integration von [mm]\cos(2\varphi)[/mm] über [mm][0;\pi/2][/mm], für
> > sich alleine, eigentlich [mm]0[/mm] ergibt.
>
> Nach dem Satz von Tonelli
> existiert das Integral bzgl. des Produktmaßes, falls eines
> der beiden iterierten Integrale existiert. Und hier
> existiert das iterierte Integral eindeutig nicht (das
> [mm]cos(2\phi)[/mm] kann man ja als Konstante rausziehen aus dem
> inneren Integral).
Gut, gut. Aber der Satz von Tonelli lässt sich doch nicht ohne weiteres auf diese Weise umkehren, die Dir hier vorschwebt. Tonelli sagt ja: falls das iterierte Integral (des Betrags des Integranden) existiert, existiert auch das (Doppel-)Integral (kurz: [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$). Kontraposition dieser Aussage wäre: existiert das (Doppel-)Integral nicht, so existiert auch das iterierte Integral (des Betrags des Integranden) nicht (kurz: [mm] $\neg B\Rightarrow \neg [/mm] A$).
Aber ich sehe nicht, wie Du, rein logisch, aufgrund des Satzes von Tonelli so schliessen kannst: das iterierte Integral (des Betrags des Integranden) existiert nicht, also existiert das (Doppel-)Integral nicht (kurz: [mm] $\neg A\Rightarrow \neg [/mm] B$). Diese Schlussweise ist jedenfalls nicht die Kontraposition des Satzes von Tonelli.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Di 15.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ok, da hab ich n bissl geschlampt..... mit dem Satz von Fubini eben ^^ Wenn sie (bzw. der Betrag von ihr) bzgl. des Produktmaßes integrierbar wäre, dann müsste auch das iterierte Integral existieren.
|
|
|
|
