Exakte Sequenz von Tors.moduln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo allerseits!
Es sei $ A $ ein HIR und
$ 0 [mm] \to T_{1} \to T_{2} \to T_{3} \to [/mm] 0 $ eine kurze exakte Sequenz von A-Torsionsmoduln, derart, dass die Mengen der assozierten Primideale von [mm] T_{1} [/mm] bzw. [mm] T_{3} [/mm] disjunkt sind. Spaltet die Sequenz dann zwingend?
Nach dem Struktursatz ist ja [mm] T_{1} \cong\bigoplus_{i=1}^{n} \bigoplus_{1 \le j \le n_{i}} A/P_{i}^{a_{i,j}} [/mm] und [mm] T_{3}\cong \bigoplus_{i=1}^{m} \bigoplus_{1 \le i \le m_{i}} A/Q_{i}^{b_{i,j}} [/mm] wobei die [mm] P_{i}, Q_{i} [/mm] nach Voraussetzung paarweise verschiedene Primideale von A sind.
Ich möchte jetzt zeigen, dass [mm] T_{2} [/mm] einfach die direkte Summe von beiden ist, die Sequenz also spaltet. Dazu ist ja erstmal auch
$ [mm] T_{2}\cong \bigoplus_{i=1}^{n} \bigoplus_{1 \le j \le k_{i}} [/mm] A/ [mm] P^{c_{i,j}} \oplus \bigoplus_{i=1}^{m} \bigoplus_{1 \le i \le m_{i}} A/Q_{i}^{d_{i,j}} \oplus \bigoplus_{i=1}^{p} \bigoplus_{1 \le j \le p_{i}} A/R_{i}^{e_{i,j}} [/mm] $
Alles ohne Einschränkung mit geordneten Exponenten der Primideale (meinetwegen monoton fallend).
Meine Argumentation ginge jetzt irgendwie so: [mm] T_{1} [/mm] liegt in [mm] T_{2}, [/mm] also muss [mm] T_{1} [/mm] in der Zerlegung von [mm] T_{2} [/mm] vorkommen. Da [mm] T_{2} [/mm] surjektiv auf [mm] T_{3} [/mm] abbildet, müssen die [mm] d_{i,j} [/mm] mindestens so groß sein wie die [mm] b_{i,j}. [/mm] Größer können sie aber nicht sein und andere Summanden können auch nicht vorkommen, da ansonsten der Kern von [mm] T_{2}\to T_{3} [/mm] größer wäre als [mm] T_{1}. [/mm] Also zufrieden bin ich damit nicht wirklich, sehe auch nicht, wo hier genau die Disjunktheit eingeht. Stimmt denn überhaupt die Vermutung, dass die Sequenz zwingend spaltet?
LG
Salamence
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Wie kommst du zu dieser Vermutung?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 17.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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