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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Exakte DGL
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Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Sa 07.03.2009
Autor: Martinius

Aufgabe
Solve


[mm] $\left[ \bruch{y}{(x+y)^2}-1\right]dx+\left[1-\bruch{x}{(x+y)^2} \right]dy=$ [/mm]

Solution:

[mm] $\bruch{y^2-x^2+x}{x+y}$ [/mm]

Hallo,

die DGL ist exakt:

[mm] $\bruch{\partial M}{\partial y}=\bruch{\partial N}{\partial x}=\bruch{x^2-y^2}{(x+y)^4}$ [/mm]


Jetzt hab' ich aber Probleme auf die Lösung zu kommen:


[mm] $\integral [/mm] M [mm] \;\partial x+f(y)=\integral [/mm] N [mm] \;\partial [/mm] y+f(x)$

[mm] $\bruch{-y}{(x+y)}-x=\bruch{x}{(x+y)}+y$ [/mm]

[mm] $\bruch{-y-x^2-xy}{(x+y)}=\bruch{x+y^2+xy}{(x+y)}$ [/mm]

, was ja nicht stimmt.

Wo liegt mein Fehler?

Vielen Dank für eine Antwort.

LG, Martinius

        
Bezug
Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Sa 07.03.2009
Autor: MathePower

Hallo Martinius,

> Solve
>  
>
> [mm]\left[ \bruch{y}{(x+y)^2}-1\right]dx+\left[1-\bruch{x}{(x+y)^2} \right]dy=[/mm]
>  
> Solution:
>  
> [mm]\bruch{y^2-x^2+x}{x+y}[/mm]
>  Hallo,
>  
> die DGL ist exakt:
>  
> [mm]\bruch{\partial M}{\partial y}=\bruch{\partial N}{\partial x}=\bruch{x^2-y^2}{(x+y)^4}[/mm]
>  
>
> Jetzt hab' ich aber Probleme auf die Lösung zu kommen:
>  
>
> [mm]\integral M \;\partial x+f(y)=\integral N \;\partial y+f(x)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{-y}{(x+y)}-x=\bruch{x}{(x+y)}+y[/mm]
>  
> [mm]\bruch{-y-x^2-xy}{(x+y)}=\bruch{x+y^2+xy}{(x+y)}[/mm]
>  
> , was ja nicht stimmt.
>  
> Wo liegt mein Fehler?
>  


Nun, da die DGL exakt ist, stellt sie ein vollständiges Differential dar:

[mm]M \ dx + N \ dy = F_{x} \ dx + F_{y} \ dy = 0[/mm]

Die Lösung ist dann [mm]F\left(x,y\right) = k [/mm] (k konstant).

Um auf die Lösung zu kommen gehst Du wie folgt vor:

[mm]F_{x}= M \Rightarrow F= \integral_{}^{}{M \ dx} + r\left(y\right)[/mm]

Abgeleitet nach y ergibt:

[mm]F_{y}= N = \integral_{}^{}{M_{y} \ dx} + r'\left(y\right)[/mm]

[mm]\Rightarrow r\left(y\right) = \integral_{}^{}{\left( \ N - \integral_{}^{}{M_{y} \ dx \ \right)} \ dy}[/mm]

Somit ergibt sich als Lösung:

[mm]F\left(x,y\right) = \integral_{}^{}{M \ dx} + \integral_{}^{}{\left( \ N - \integral_{}^{}{M_{y} \ dx \ \right)} \ dy} = k[/mm] ( k konstant)


> Vielen Dank für eine Antwort.
>  
> LG, Martinius


Gruß
Martinius

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