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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Do 05.02.2009 | | Autor: | Zyklowa |
| Aufgabe | Verwenden Sie die explize Euler Methode
[mm] x_{k+1}=x_k+hf(t_k,x_k),\quad k=1,2,\dots
[/mm]
um die Anfangswertaufgabe
v''(t) - 6v'(t) [mm] +t^2 [/mm] v(t) = 0, t > 1
mit den Anfangsbedingungen
v(1) = 1, v'(1) = 0
zu lösen. |
Hallo
Ich habe erst einmal angefangen, die Anfangswertaufg. auf die 1. Ordnung zu bringen
x := v
y := x'
y' = x''
und habe dann versucht zu lösen
y' - 6y [mm] +t^2 [/mm] x = 0, t > 1
mit Anfangsbedingungen x(1) = 1 ; y(1) = 0
Mit h = 0.5 (für mich zum Verständnis) habe ich dann so weitergemacht
[mm] z_{0}(1) [/mm] := [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] (1.5) := [mm] z_0 [/mm] + [mm] 0.5*f(t_0, z_0) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + 0.5 f(1.5, [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) [/mm]
y' - 6y [mm] +t^2 [/mm] x = 0 <=> y' = f(t,z) = 6y [mm] -t^2 [/mm] x
= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + 0.5 [mm] *(6*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) [/mm] ) - [mm] 1.5^2 [/mm] *...
Irgendwie verstehe ich nicht, was ich wo einsetzen muss.
Ich bin mir sicher, dass das alles schon falsch ist, so wie ich das gemacht habe.
Könnt ihr mir bitte helfen?
Grüße,
Zyklowa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Do 05.02.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Aufgabe: Löse das AWP
$v''(t)-6v'(t)+t^2v(t)=0$
$v(1)=1$
$v'(1)=0$
mit dem expliziten Eulerverfahren
[mm] $x^{n+1}=\triangle t\cdot f(n\cdot\triangle t,x^n)+x^n$
[/mm]
wobei [mm] $h=\triangle [/mm] t>0$ die zeitliche Schrittweite bezeichne.
Formuliere die zu einem System 1. Ordnung um. Dazu setze $u:=v'$, dann ist $v''=u'$. Wir bekommen:
$v'=u$
$u'=v''=6v'-t^2v=6u-t^2v$
Die zwei Anfangsbedingungen der obigen Gleichung verschmelzen für das System zu einer Anfangsbedingung:
[mm] $v^1:=v(1)=1$
[/mm]
[mm] $u^1:=u(0)=0$
[/mm]
Nun führe eine Eulerdiskretisierung durch. Du erhälst für [mm] $n\in\IN$ [/mm] (also [mm] $n\geqslant [/mm] 1$)
[mm] $v^{n+1}=\triangle t\cdot u^n+v^n$
[/mm]
[mm] $u^{n+1}=\triangle t\cdot\left(6u^n-(n\cdot\triangle t)^2 v^n\right)+u^n$
[/mm]
Nun kennst Du [mm] $v^1$ [/mm] und [mm] $u^1$. [/mm] Damit kannst Du [mm] $v^2$ [/mm] und [mm] $u^2$ [/mm] berechnen, u.s.w. [mm] $h=\triangle [/mm] t$ ist bei Dir glaube ich [mm] $\frac{1}{2}$.
[/mm]
Viel Spaß dabei.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Zyklowa |
Hallo Denny22.
Normalerweise verstehe ich von dem Zeug ja gar nichts, aber du hast das alles wunderbar erklärt und ich konnte alles verstehen. Vielen Dank
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