Eulersche Phi funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Man gebe jeweils den Wert von x an.
[mm] $x=\phi(120)$
[/mm]
[mm] $x=\phi(296)$
[/mm]
[mm] $x=\phi(182)$
[/mm]
[mm] $x=\phi(555)$
[/mm]
b) [mm] $x=ord_{11}(9)$
[/mm]
[mm] $x=ord_{13}(10)$
[/mm]
[mm] $x=ord_{7}(5)$
[/mm]
[mm] $x=ord_{17}(3)$ [/mm] |
Hallo, bei [mm] $x=\phi(120)$ [/mm] habe ich
[mm] $x=\phi(120)$ [/mm] = [mm] $\phi(8)*\phi(3)*\phi(5)$ [/mm] = $4*4*2$ = $32$
[mm] $x=\phi(296)$ [/mm] = [mm] $\phi(8)*\phi(37)$ [/mm] = $4*36$ = $144$
[mm] $x=\phi(182)$ [/mm] = [mm] $\phi(2)*\phi(7)*\phi(13)$ [/mm] = $1*6*12$ = $72$
[mm] $x=\phi(555)$ [/mm] = [mm] $\phi(3)*\phi(5)*\phi(37)$ [/mm] = $2*5*36$ = $360$
ist a) richtig?
bei b) hab ich probleme..
[mm] $x=ord_{11}(9)$ [/mm] =
[mm] $\phi(11)=10$
[/mm]
dann komme ich nicht weiter ich habe mal im forum gelesen dass der kleine Satz von Fermat wichtig wäre, ob es speziell bei meinen Aufgaben wichtig ist weiß ich nicht.. ich hoffe jemand kann mir helfen.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Sa 09.05.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> a) Man gebe jeweils den Wert von x an.
>
> [mm]x=\phi(120)[/mm]
> [mm]x=\phi(296)[/mm]
> [mm]x=\phi(182)[/mm]
> [mm]x=\phi(555)[/mm]
>
> b) [mm]x=ord_{11}(9)[/mm]
> [mm]x=ord_{13}(10)[/mm]
> [mm]x=ord_{7}(5)[/mm]
> [mm]x=ord_{17}(3)[/mm]
>
> Hallo, bei [mm]x=\phi(120)[/mm] habe ich
>
> [mm]x=\phi(120)[/mm] = [mm]\phi(8)*\phi(3)*\phi(5)[/mm] = [mm]4*4*2[/mm] = [mm]32[/mm]
> [mm]x=\phi(296)[/mm] = [mm]\phi(8)*\phi(37)[/mm] = [mm]4*36[/mm] = [mm]144[/mm]
> [mm]x=\phi(182)[/mm] = [mm]\phi(2)*\phi(7)*\phi(13)[/mm] = [mm]1*6*12[/mm] = [mm]72[/mm]
Soweit ok.
> [mm]x=\phi(555)[/mm] = [mm]\phi(3)*\phi(5)*\phi(37)[/mm] = [mm]2*5*36[/mm] = [mm]360[/mm]
Also [mm] $\phi(5)$ [/mm] ist nicht gleich 5, und somit ist das Endergebnis falsch. Die anderen Zahlen sind ok.
> bei b) hab ich probleme..
Wie habt ihr denn [mm] $ord_a(b)$ [/mm] definiert und was wisst ihr darüber?
> [mm]x=ord_{11}(9)[/mm] =
> [mm]\phi(11)=10[/mm]
Wieso ist [mm] $ord_{11}(9) [/mm] = [mm] \phi(11)$?
[/mm]
> dann komme ich nicht weiter ich habe mal im forum gelesen
> dass der kleine Satz von Fermat wichtig wäre, ob es
Laut dem Satz von Fermat ist [mm] $\phi(11)$ [/mm] ein Vielfaches der Ordnung von 9 modulo 11. Also ist die Ordnung entweder 1, 2, 5 oder 10.
Kann es 1 sein? Warum/warum nicht? (Das kann man durch "direktes Hinsehen" beantworten.)
Kann es 2 sein? Warum/warum nicht? (Das kann man durch "direktes Hinsehen" beantworten.)
LG Felix
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Danke Felix.
ja es war ein schreibfehler phi von 5 wäre 4 und als ergebnis wäre es dann 288.
so zur b)
1 kann es nicht sein, denn
[mm] $9^1 \not\equiv [/mm] 1$ mod 11
[mm] $9^2 \not\equiv [/mm] 1$ mod 11
[mm] $9^5 \equiv [/mm] 1$ mod 11
[mm] $9^{10} \not\equiv [/mm] 1$ mod 11
d.h die 5 stimmt. also ist mein $x=5$ stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 09.05.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke Felix.
>
> ja es war ein schreibfehler phi von 5 wäre 4 und als
> ergebnis wäre es dann 288.
>
> so zur b)
>
> 1 kann es nicht sein, denn
> [mm]9^1 \not\equiv 1[/mm] mod 11
> [mm]9^2 \not\equiv 1[/mm] mod 11
Jo. Versuch doch mal herauszufinden, wie du 1 und 2 immer direkt ausschliessen kannst, ohne zu rechnen. Es gibt in [mm] $\{ 1, \dots, p - 1 \}$ [/mm] genau eine Zahl, die Ordnung 1 modulo $p$ hat, und genau eine Zahl, die Ordnung 2 modulo $p$ hat (ausser wenn $p = 2$ ist, dann gibt es keine die Ordnung 2 hat).
> [mm]9^5 \equiv 1[/mm] mod 11
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]9^{10} \not\equiv 1[/mm] mod 11
Das ist falsch. Wenn [mm] $9^5 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{11}$ [/mm] ist, muss auch [mm] $9^{10} [/mm] = [mm] (9^5)^2 \equiv 1^2 [/mm] = 1 [mm] \pmod{11}$ [/mm] sein.
> d.h die 5 stimmt. also ist mein [mm]x=5[/mm] stimmt das?
Ja, da du das kleinste $x$ mit [mm] $5^x \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{11}$ [/mm] suchst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Sa 09.05.2015 | | Autor: | AragornII |
ich werde morgen die anderen Aufgaben machen, dann schreibe ich hier nochmal rein falls ich wieder Probleme habe.
Danke :)
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Hallo nochmal, eine kurze Frage bzgl der Schreibweise.
Wenn ich die Ordnung 5 mod 128 bestimmen soll.
wäre es so aufgeschrieben [mm] $ord_5(128)$
[/mm]
oder
[mm] $ord_{128}(5)$?
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 20.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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