Eulerfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
habe hier bei einer überlegung ein totales brett vorm kopf. ich hoffe, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.
also ich weiß, dass gilt: [mm] e^{i*\pi}=-1
[/mm]
was ist also an der folgenden rechnung falsch:
[mm] e^{i*\pi}=e^{i*\pi*2/2}=(e^{i*\pi*2})^{1/2}=(cos(2*\pi)+i*sin(2*\pi))^{1/2}=1^{1/2}=1
[/mm]
vielen dank im voraus
|
|
| |
|
Hallo Benedikt17,
> habe hier bei einer überlegung ein totales brett vorm kopf.
> ich hoffe, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.
> also ich weiß, dass gilt: [mm]e^{i*\pi}=-1[/mm]
> was ist also an der folgenden rechnung falsch:
> [mm]e^{i*\pi}=e^{i*\pi*2/2}=(e^{i*\pi*2})^{1/2}=(cos(2*\pi)+i*sin(2*\pi))^{1/2}=1^{1/2}=1[/mm]
Da Du die Wurzel ziehst, stimmt obige Gleichung so nicht.
[mm](e^{i*\pi*2})^{1/2}=(cos(2*\pi)+i*sin(2*\pi))^{1/2}=cos(\pi\;+\;2\;k\;\pi)+i*sin(\pi\;+\;2\;k\;\pi)\;=\;cos(\pi\;+\;2\;k\;\pi)=\;-1[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
danke, aber ich versteh dabei nicht, weshalb gilt
[mm] $(cos(2\cdot{}\pi)+i\cdot{}sin(2\cdot{}\pi))^{1/2}=cos(\pi\;+\;2\;k\;\pi)+i\cdot{}sin(\pi\;+\;2\;k\;\pi)\; [/mm] $
|
|
|
| |
|
Hallo Benedikt17,
> danke, aber ich versteh dabei nicht, weshalb gilt
> [mm](cos(2\cdot{}\pi)+i\cdot{}sin(2\cdot{}\pi))^{1/2}=cos(\pi\;+\;2\;k\;\pi)+i\cdot{}sin(\pi\;+\;2\;k\;\pi)\;[/mm]
leiten wir das mal her:
[mm]
\begin{gathered}
\left( {\cos \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\; + \;i\sin \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)} \right)^2 \; = \hfill \\
\cos ^2 \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\; + \;2\;i\;\cos \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\;\sin \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\; + \;i^2 \sin ^2 \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right) \hfill \\
= \;\left( {\cos ^2 \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\; - \;\sin ^2 \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)} \right)\; + \;2\;i\;\cos \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\;\sin \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right) \hfill \\
= \;\cos \;\left( {2\;\pi \; + \;4\;k\;\pi } \right)\; + \;i\;\sin \;\left( {2\;\pi \; + \;4\;k\;\pi } \right) \hfill \\
= \;\cos \;\left( {2\;\pi } \right)\; + \;i\;\sin \;\left( {2\;\pi } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
