Euler-Lagrange-Gleichung Lösen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll
[mm] F(y)=\integral_{a}^{b}{p*g*y(x)*\wurzel{1+y'(x)^{2}} dx} [/mm] mit p, g als bekannte Konstanten
unter der Nebenbedingung
[mm] G(y)=\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+y'(x)^{2}}} [/mm] dx = L mit L>(b-a) (also Länge von y konstant)
minimiert werden.
Zu Zeigen: [mm] y(x)=q*cosh(\bruch{x-\mu}{q})+\bruch{\lambda}{p*g} [/mm] mit q [mm] \in \IR^{+}, [/mm] sowie [mm] \mu, \lambda \in \IR
[/mm]
ist eine Lösung.
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Hallo, hänge hier an einer Stelle:
ausgehend von
[mm] \delta(F-\lambda [/mm] G)(u,v)=0 mit [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
habe ich die Euler-Lagrange Gleichung aufgestellt:
[mm] (F-\lambda G)(y)=\integral_{a}^{b}{p*g*y(x)*\wurzel{1+y'(x)^{2}}-\lambda*\wurzel{1+y'(x)^{2}}} [/mm] dx = [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1+y'(x)^{2}}*(p*g*y(x)-\lambda)dx}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx} \bruch{d}{dy'} [/mm] f = [mm] \bruch{d}{dy} [/mm] f
=>
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] ( [mm] (p*g*y(x)-\lambda)*\bruch{y'(x)}{\wurzel{1+y'(x)^{2}}} )=p*g*\wurzel{1+y'(x)^{2}}
[/mm]
An dieser Stelle habe ich überlegt, ob ich das y(x) aus der Aufgabenstellung in die E-L-Gleichung einsetze, um zu zeigen dass sie dafür gültig ist, oder ob ich mit der E-L-Gleichung so weiterrechne um auf die Lösung aus der Aufgabenstellugn zu kommen.
Habe mich für Letzteres entschieden, und mir ist zunächst nichts besseres eingefallen als zu integrieren, sodass:
[mm] (p*g*y(x)-\lambda)*\bruch{y'(x)}{\wurzel{1+y'(x)^{2}}} [/mm] = p [mm] \cdot [/mm] g [mm] \cdot \integral{\wurzel{1+y'(x)^{2}}} [/mm] dx + c
doch wie geht es jetzt weiter?
kann ich dsa überhaupt integrieren? oder b in ich die sache generell falsch angegangen
Danke im voraus, mfg
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Hallo,
> Es soll
>
> [mm]F(y)=\integral_{a}^{b}{p*g*y(x)*\wurzel{1+y'(x)^{2}} dx}[/mm]
> mit p, g als bekannte Konstanten
>
> unter der Nebenbedingung
>
> [mm]G(y)=\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+y'(x)^{2}}}[/mm] dx = L mit
> L>(b-a) (also Länge von y konstant)
>
> minimiert werden.
das ist wohl das problem des durchhaengenden seiles, oder?
>
> Zu Zeigen:
> [mm]y(x)=q*cosh(\bruch{x-\mu}{q})+\bruch{\lambda}{p*g}[/mm] mit q
> [mm]\in \IR^{+},[/mm] sowie [mm]\mu, \lambda \in \IR[/mm]
>
> ist eine Lösung.
>
>
> Hallo, hänge hier an einer Stelle:
>
> ausgehend von
>
> [mm]\delta(F-\lambda[/mm] G)(u,v)=0 mit [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> habe ich die Euler-Lagrange Gleichung aufgestellt:
>
> [mm](F-\lambda G)(y)=\integral_{a}^{b}{p*g*y(x)*\wurzel{1+y'(x)^{2}}-\lambda*\wurzel{1+y'(x)^{2}}}[/mm]
> dx =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+y'(x)^{2}}*(p*g*y(x)-\lambda)dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx} \bruch{d}{dy'}[/mm] f = [mm]\bruch{d}{dy}[/mm] f
>
> =>
>
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] (
> [mm](p*g*y(x)-\lambda)*\bruch{y'(x)}{\wurzel{1+y'(x)^{2}}} )=p*g*\wurzel{1+y'(x)^{2}}[/mm]
>
hm, wenn ich mir die loesung ![[]](/images/popup.gif) hier anschaue, denke ich, dass auf der rechten seite $0$ stehen muesste, dann wird alles einfacher. Checke nochmal deine E-L gleichungen, ob du irgendwo vereinfachen kannst.
> An dieser Stelle habe ich überlegt, ob ich das y(x) aus
> der Aufgabenstellung in die E-L-Gleichung einsetze, um zu
> zeigen dass sie dafür gültig ist, oder ob ich mit der
> E-L-Gleichung so weiterrechne um auf die Lösung aus der
> Aufgabenstellugn zu kommen.
>
gruss
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 So 08.11.2009 | | Autor: | awakening |
Danke für den Link, mit dieser Hilfe konnte ich zum Ende kommen.
Das die Ableitung eines gewissen Terms 0 ist und damit dieser Term als konstant angenommen werden kann, ergibt sich erst daraus, dass man an der Stelle wo ich nicht weitergekommen bin, die Ableitung der linken Seite ausrechnet anstatt zu integrieren
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