Euklidischer Vektorraum < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Auf [mm] \IR^{2} [/mm] sei eine symmetrische Bilinearform < , > gegegeben durch:
< (x1,x2) , (y1,y2) > : = [mm] 2x_{1}y_{1} [/mm] + [mm] x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+2 x_{2}y_{2}
[/mm]
a) Zeigen Sie , dass < , > positiv definit ist
b) Finden Sie eine ON-Basis von [mm] (\IR^{2} [/mm] , < , >) |
a) Ich habe mir erst überlegt was psoitiv definit bedeutet. < v , v> > 0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V , v [mm] \not= [/mm] 0 . < [mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] , [mm] (y_{1},y_{2}) [/mm] > das kann ich dann doch schreiben als < [mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] , [mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] > : = [mm] 2x_{1}x_{1} [/mm] + [mm] x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}+2 x_{2}x_{2} [/mm] und man muss zeigen , dass dieses größer 0 ist.Dieses ist doch [mm] (x_{1}+x_{2})^{2} +x_{1}^{2}+x_{2}^{2}. [/mm] Kann ich das so machen oder ist das falsch?!
und bei b weiß ich nicht wie ich da heran gehe
|
|
| |
|
Hallo DieerstenSchritte,
> Auf [mm]\IR^{2}[/mm] sei eine symmetrische Bilinearform < , >
> gegegeben durch:
>
> < (x1,x2) , (y1,y2) > : = [mm]2x_{1}y_{1}[/mm] +
> [mm]x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+2 x_{2}y_{2}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie , dass < , > positiv definit ist
> b) Finden Sie eine ON-Basis von [mm](\IR^{2}[/mm] , < , >)
> a) Ich habe mir erst überlegt was psoitiv definit
> bedeutet. < v , v> > 0 [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V , v [mm]\not=[/mm] 0 . <
> [mm](x_{1},x_{2})[/mm] , [mm](y_{1},y_{2})[/mm] > das kann ich dann doch
> schreiben als < [mm](x_{1},x_{2})[/mm] , [mm](x_{1},x_{2})[/mm] > : =
> [mm]2x_{1}x_{1}[/mm] + [mm]x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}+2 x_{2}x_{2}[/mm] und man
> muss zeigen , dass dieses größer 0 ist.Dieses ist doch
> [mm](x_{1}+x_{2})^{2} +x_{1}^{2}+x_{2}^{2}.[/mm] Kann ich das so
> machen oder ist das falsch?!
Das ist ganz richtig, was Du da gemacht hast. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und bei b weiß ich nicht wie ich da heran gehe
Nimm die beiden Einheitsvektoren aus [mm]\IR^{2}[/mm]
und bilde daraus eine ON-Basis bezüglich [mm]< \ , \ >[/mm].
Gruß
MathePower
|
|
|
|
