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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:53 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in n Unbestimmten über [mm] \IR [/mm] ist bekanntlich ein affiner Unterraum des [mm] \IR^{ n},d.h. [/mm] von de Form v+ U mit einem v [mm] \in \IR^{n} [/mm] und einem Untervektorraum U [mm] \subset \IR^{n}. [/mm] Umgekehrt seien jetzt im [mm] \IR^{n} [/mm] ein Vektor v und ein Untervektorraum U gegeben, U [mm] \perp [/mm] der Orthogonalraum bezüglich des jabonischen Skalarprodukts (v1,.....,vm) eine Basis von U [mm] \perp [/mm] und A die Matrix mit den zeilen v1 [mm] ^{t},....vm^{t}. [/mm] Zeigen Sie: Mit b:=Av gilt dann:
v+ U = Lös(A,b) |
Wir haben ja nun A als Einheitsmatrix bloß, dass die Zeilen umgedreht sind.
ich weiß nun aber irgendwie nicht was ich genau zeigen soll. BZw. wie ich zeigen soll, dass v+U = Lös(A,b) ist.
Soll ich mir einfach mal ein v, U und A basteln und gucken was da evtl passiert?
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> Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in n
> Unbestimmten über [mm]\IR[/mm] ist bekanntlich ein affiner
> Unterraum des [mm]\IR^{ n},d.h.[/mm] von de Form v+ U mit einem v
> [mm]\in \IR^{n}[/mm] und einem Untervektorraum U [mm]\subset \IR^{n}.[/mm]
> Umgekehrt seien jetzt im [mm]\IR^{n}[/mm] ein Vektor v und ein
> Untervektorraum U gegeben, U [mm]\perp[/mm] der Orthogonalraum
> bezüglich des jabonischen Skalarprodukts (v1,.....,vm)
> eine Basis von U [mm]\perp[/mm] und A die Matrix mit den zeilen v1
> [mm]^{t},....vm^{t}.[/mm] Zeigen Sie: Mit b:=Av gilt dann:
> v+ U = Lös(A,b)
Hallo,
was ist denn das "jabonische Skalarprodukt"?
Nachden ich das googelnderweise nicht finden kann,
auch die Idee, daß das "japanisch" in irgendeinem Dialekt heißt, verworfen habe,
komme ich zu dem Schluß: Du meinst "kanonisch".
> Wir haben ja nun A als Einheitsmatrix bloß, dass die
> Zeilen umgedreht sind.
Wie kommst Du auf "Einheitsmatrix"?
Was meinst Du mit "umgedrehten Zeilen"?
Wir haben eine Basis [mm] B:=(v_1,...,v_m) [/mm] von [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Diese ist nicht zwingend eine Teilmenge der Standardbasis.
In den Zeilen von A sind die Transponierten der [mm] v_i.
[/mm]
I.a. wird A nicht quadratisch sein, denn die [mm] v_i [/mm] entstammen dem [mm] \IR^n.
[/mm]
[mm] U^{\perp}U^{\perp}
[/mm]
Bist Du Dir sicher, daß Du wirklich
> v+ U = Lös(A,b)
zeigen sollst?
Ich glaube nämlich, daß das nicht gelingen wird...
Es sollte doch bestimmt [mm]v+ U^{\red{\perp}}[/mm] = Lös(A,b) heißen.
> ich weiß nun aber irgendwie nicht was ich genau zeigen
> soll. BZw. wie ich zeigen soll, dass v+U = Lös(A,b) ist.
Du mußt vorrechnen,
1.
daß jedes Element x der Bauart x=v+u' mit [mm] u'\in U^{\perp} [/mm] eine Lösung von Ax=Av ist,
und
2.
daß man jedes Element x aus Lös(A,Av) als x=v+u' mit [mm] u'\in U^{\perp} [/mm] schreiben kann.
> Soll ich mir einfach mal ein v, U und A basteln und gucken
> was da evtl passiert?
Das ist natürlich dann kein Beweis der zu zeigenden Aussage, für das Verständnis der zu bweisenden Aussage in meinen Augen aber eine goldrichtige Idee.
LG Angela
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