Euklid. Ring - Bewertungsfkt. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Di 25.11.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | | Man zeige: Ist E ein Euklidischer Ring mit der Bewertungsfunktion N, dann ist N(1) <= N(a) für alle a [mm] \in [/mm] E - [mm] \{0\}. [/mm] Weiters ist u [mm] \in [/mm] E genau dann eine Einheit, wenn N(u) = N(1) |
Hallo!
Ich stehe bei diesem Beweis etwas auf der Leitung.
Die Bewertungsfunktion ist folgend definiert: N: E - [mm] \{0\} [/mm] -> [mm] \IN_0
[/mm]
(i) N(a) <= N(a*b) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] E - [mm] \{0\}
[/mm]
(ii) Für a,b [mm] \in [/mm] E mit b != 0 gibt es stets Elemente q,r [mm] \in [/mm] E mit a = q * b + r, wobei r = 0 oder N(r) < N(b)
z.z. N(1) <= N(a) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] E - [mm] \{0\}
[/mm]
Bräuchte bitte einen oder mehrere Tipps.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mi 26.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Man zeige: Ist E ein Euklidischer Ring mit der
> Bewertungsfunktion N, dann ist N(1) <= N(a) für alle a [mm]\in[/mm]
> E - [mm]\{0\}.[/mm] Weiters ist u [mm]\in[/mm] E genau dann eine Einheit,
> wenn N(u) = N(1)
>
> Die Bewertungsfunktion ist folgend definiert: N: E - [mm]\{0\}[/mm]
> -> [mm]\IN_0[/mm]
> (i) N(a) <= N(a*b) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] E - [mm]\{0\}[/mm]
> (ii) Für a,b [mm]\in[/mm] E mit b != 0 gibt es stets Elemente q,r
> [mm]\in[/mm] E mit a = q * b + r, wobei r = 0 oder N(r) < N(b)
>
>
> z.z. N(1) <= N(b) [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] E - [mm]\{0\}[/mm]
Setze doch mal $a=1$ in (i) ein, dann steht es da.
Bleibt noch der zweite Teil, [mm] "$u\in E\setminus\{0\}$ [/mm] ist Einheit [mm] $\gdw [/mm] N(u)=N(1)$":
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Die Ungleichung [mm] $N(1)\le [/mm] N(u)$ gilt immer (s.o.) Ist nun [mm] $u\cdot [/mm] a=1$ für ein [mm] $a\in [/mm] E$, dann folgt aus (i) auch die Ungleichung [mm] $N(u)\le N(u\cdot [/mm] a)=N(1)$, also insgesamt $N(u)=N(1)$.
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Wegen (ii) gibt es [mm] $q,r\in [/mm] E$ mit [mm] $1=q\cdot [/mm] u + r$ und $N(r)<N(u)=N(1)$ (was nicht sein kann, da [mm] $N(r)\le [/mm] N(1)$) oder $r=0$, also muss $r=0$ sein und damit ist [mm] $q\cdot [/mm] u=1$, d.h. u ist eine Einheit.
Gruß, Robert
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