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| Aufgabe | M1: [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
M2: [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
V = [mm] \sub\IQ^4 [/mm] und M1 [mm] \subset \IQ^4 [/mm] und M2 [mm] \subset \IQ^4 [/mm] |
Das ist jez nur nen Beispiel von mir damit ich das verstehe für meine Aufgaben. Will die ja selber lösen. Kann mir jemand sagen wie ich jez zeige, dass M1 von V erzeugt wird und wie zeige ich das M2 linear unabhänig ist und wie ergänze M2 durch
Hinzunahme von Elementen aus M1 zu einer Basis von V . Kann mir jemand das mal erklären? Ich hoffe das ich das dann entlich verstehe. Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Do 20.11.2008 | | Autor: | reverend |
Darf die Erklärung auf Deutsch sein?
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> M1: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> M2: [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> V = [mm]\sub\IQ^4[/mm] und M1 [mm]\subset \IQ^4[/mm] und M2 [mm]\subset \IQ^4[/mm]
> Das ist jez nur nen Beispiel von mir damit ich das verstehe
> für meine Aufgaben. Will die ja selber lösen. Kann mir
> jemand sagen wie ich jez zeige, dass M1 von V erzeugt wird
> und wie zeige ich das M2 linear unabhänig ist und wie
> ergänze M2 durch
> Hinzunahme von Elementen aus M1 zu einer Basis von V .
> Kann mir jemand das mal erklären? Ich hoffe das ich das
> dann entlich verstehe. Danke im Vorraus
Hallo,
könnte es sein, daß Du eher zeigen möchtest, daß V von [mm] M_1 [/mm] erzeugt wird?
V ist ein Vektorraum der Dimension 4, und das Erzeugnis von [mm] M_1 [/mm] ist offensichtlcih eine Teilmenge davon.
Wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß in [mm] M_1 [/mm] eine Basis von V enthalten ist, bist Du fertig.
Dies gelingt Dir am schnellsten, wenn Du die Spalten in eine Matrix stellst und diese auf ZSF bringst.
Wenn wir die ZSF haben, können wir zeigen, wie Du eine Basis des von [mm] M_1 [/mm] erzeugten Raumes ablesen kannst.
Daß [mm] M_2 [/mm] linear unabhängig ist, sieht "man" eigentlich sofort. Wenn nicht, verwende die Definition für lineare Unabhängigkeit (Wie lautet die?), oder stell die Vektoren in eine Matrix und bestimme deren rang.
Willst Du [mm] M_2 [/mm] durch Vektoren aus [mm] M_1 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IQ^4 [/mm] ergänzen, so kannst Du z.B. solange probieren, bis Du 2 gefunden hast, so daß die nunmehr 4 linear unabhängig sind.
Du kannst aber auch die Vektoren aus [mm] M_2 [/mm] in eine Matrix stellen, daneben die Basisvektoren aus [mm] M_1. [/mm] Wieder ZSF, beim Interpretieren können wir ggf. helfen.
Gruß v. Angela
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ja das meinte ich. das was du mir erklärt hast hat mir mein lehrer auch gesgat und dann habe ich ein LGS aufgestellt doch irgendwie komme ich da nicht weiter was muss ich denn da nun genau machen? lineare gleichungssyteme konnte ich noch nie lösen. könntest du mir das bei diesen beispiel mal vorrechnen? meine aufgabe sieht natürlich anders aus keine angst. wäre echt lieb
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> ja das meinte ich. das was du mir erklärt hast hat mir mein
> lehrer auch gesgat und dann habe ich ein LGS aufgestellt
> doch irgendwie komme ich da nicht weiter was muss ich denn
> da nun genau machen? lineare gleichungssyteme konnte ich
> noch nie lösen. könntest du mir das bei diesen beispiel mal
> vorrechnen? meine aufgabe sieht natürlich anders aus keine
> angst. wäre echt lieb
Hallo,
Du bist ja drollig! Stellst Fragen nach Erzeugnis und Basis, und dabei ist das Problem, daß Du kein LGS lösen kannst...
Der Gaußalgorithmus ist an vielen Stellen erklärt, vielleicht arbeitest Du Dich mal durch ![[]](/images/popup.gif) dieses Beispiel.
Anschließend kannst Du ja einen Versuch mit Deiner Aufgabe machen und posten, wie weit Du kommst.
Gruß v. Angela
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Ok also würde ich so ungefähr machen:
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 +x_4 [/mm] =0
[mm] x_1 [/mm] =0
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] =0
[mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] =0
[mm] x_2 +x_4 [/mm] =0
[mm] x_1 +x_4 [/mm] =0
daraus folgt das [mm] x_1 [/mm] =0 ist somit kommt darauf durch einsetzen das alle 0 sind. Und wie komme ich da jez auf eine basis?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Do 20.11.2008 | | Autor: | reverend |
Wo hast Du denn diese Gleichungen her? Kannst Du die mal aus Deiner Aufgabenstellung herleiten? Ich verstehe nämlich nicht, wie Du dazu kommst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Do 20.11.2008 | | Autor: | trixi28788 |
na das kommt doch durch die vektoren die ich gegeben haben oder nicht? habe ich das jez falsch gemacht?
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> Ok also würde ich so ungefähr machen:
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> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3 +x_4[/mm] =0
> [mm]x_1[/mm] =0
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] =0
> [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] =0
> [mm]x_2 +x_4[/mm] =0
> [mm]x_1 +x_4[/mm] =0
>
> daraus folgt das [mm]x_1[/mm] =0 ist somit kommt darauf durch
> einsetzen das alle 0 sind. Und wie komme ich da jez auf
> eine basis?
>
Hallo,
es ist bei diesen Aufgaben wirklich übersichtlicher (und es geht schneller) die Umformungen im Matrixschema durchzuführen.
Ich hatte ja auch gesagt: Zeilenstufenform. Das ist nämlich schön übersichtlich, und man kann vieles auf einen Blick ablesen.
Bist Du das Beispiel durchgegangen?
Und ich muß mich reverends Frage anschließen:
was hast Du Dir beim Aufstellen des Gleichungssystems gedacht?
Was möchtest Du gerade überprüfen und warum hast Du dazu das obige Gleichungssystem aufgestellt?
Denn natürlich muß sich das Gleichungssystem nach den Fragen richten, die man damit beantworten möchte.
Du scheinst ja noch ziemlich durch die Begriffswelten der Anfangsgründe der linearen Algebra zu taumeln.
Kannst Du sagen,
-was ein Erzeugendensystem ist
-was linear unabhängig bedeutet
-was eine Basis ist.
Falls Du das Gefühl hast, daß Du es nicht weißt, mach Dich schlau und lern die Definitionen. Aus denen ergeben sich nämlich auch die Rechenwege.
Und dann fangen wir nochmal an:
Sag' die Definition von Erzeugendensystem.
Was mußt Du also ausrechnen?
Welches Gleichungssystem ist folglich zu lösen?
Gruß v. Angela
P.S.: Wenn Du rein schematisch arbeiten möchtest, kannst Du - ich vermute, sowas wolltest Du oben eigentlich tun - die Vektoren in eine Matrix legen, diese Matrix auf Zeilenstufenform bringen, die Nichtnullzeilen wieder "aufrichten" zu Spalten. Dastehen hast Du dann eine Basis des von den eingesetzten Vektoren erzeugten Raumes.
Hier würdest Du ablesen können, daß die 4 Einheitsvektoren des [mm] \IQ^4 [/mm] eine Basis des erzeugten Raumes sind, und somit könntest Du folgern, daß der von [mm] M_1 [/mm] erzeugte Raum =V ist, weshalb natürlich [mm] M_1 [/mm] ein Erzeugendensystem von V ist.
Für viele Fragestellungen ist aber das "Legen" der Spaltenvektoren überhaupt nicht praktisch.
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Bitte bitte kann mir jemand helfen und zeigen wie ich das beispiel löse? wenn ich das sehe verstehe ich immer am besten und kann es auf andere sachen anwenden. es ist echt wichtig da ich darüber bald was schreibe.
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> Bitte bitte kann mir jemand helfen und zeigen wie ich das
> beispiel löse? wenn ich das sehe verstehe ich immer am
> besten und kann es auf andere sachen anwenden. es ist echt
> wichtig da ich darüber bald was schreibe.
Hallo,
ich habe Dir genau erklärt, was zu tun ist.
Warum machst Du es nicht einfach? Fängst zumindest an?
Stell die Vektoren in eine Matrix und bring sie auf Zeilenstufenform.
Es ist hier bestimmt eine Menge leute bereit, Dir dann bei der Interpretation zu helfen.
Aber das wir hier für Dich in Einzelschritten den Gaußalgorithmus durchführen, muß doch wirklich nicht sein.
Ich für meinen Teil würde lieber sehen, wie Du das machst.
Bisher sieht man noch nicht mal die Matrix, um die es geht.
Hier jetzt ein kleines Beispiel zur Einstimmung.
[mm] A:=\{ \vektor{1\\2\\3}, \vektor{1\\0\\1}, \vektor{3\\2\\5}\}.
[/mm]
Matrix:
[mm] \pmat{ 1&1&3\\2&0&2\\3&1&5} [/mm] --> (2.Zeile- 2*1.Zeile, 3.Z - 3*1.Z)
[mm] \pmat{ 1&1&4\\0&-2&-4\\0&-2&-4} [/mm]
--> (2.Z - 3.Z.)
[mm] \pmat{ 1&1&4\\0&-2&-6\\0&0&0} [/mm]
Der Rang der Matrix ist =2, also erzeugen meine Vektoren einen Raum der Dimension 2.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und 2. Spalte, also bilden mein 1. und 2. Ursprungsvektor, [mm] \vektor{1\\2\\3}, \vektor{1\\0\\1}, [/mm] eine Basis des erzeugten Raumes.
Das ist jetzt ein rein schematisches Vorgehen. Für die Lösung mancher Aufgaben reicht es. Fürs Studium der Mathematik nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Do 20.11.2008 | | Autor: | trixi28788 |
ja ich nbin dich schon die ganze zeit dabei es zu machen und zu versuchen. ich habe deine letzte antwort nur zuspät gelesen da hatte ich schon die frage gestellt. ich bekomme das mit den tipps schon hin. danke
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