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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Fr 29.12.2006 | | Autor: | LAcity |
| Aufgabe | geg.: Vektoren: a=(-8,0,10) b1=(2,3,5) b2=(0,1,1) b3=(7,5,3)
Aufgabe: Bilden die Vektoren b1,b2, und b3 eine Basis des Anschauungsraumes? Begründen Sie die Antwort! |
Hallo! Also ich weiß, dass die Vektoren eine Basis des Anschauungsraumes bilden, wenn sie linear unabhängig sind und wenn sie ein Erzeugersytem sind.
Das sie linear unabhängig sind habe ich bewiesen, soweit kein problem, aber was ist ein erzeugersystem und wie berechne ich es?
Danke für die Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Sa 30.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ein Erzeugendensystem von Vektoren [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_m [/mm] (alle aus einem n-dimensionalen Vektorraum) ist die Menge aller möglichen Linearkombinationen der Vektoren.
Man schreibt auch span( [mm] $v_1 ,\ldots ,v_m$ [/mm] ) dafür.
span( [mm] $v_1 ,\ldots ,v_m$ [/mm] ) ist also derjenige UVR der durch die Vektoren [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_m [/mm] aufgespannt wird.
(Das Erzeugendensystem ist immer ein UVR -> warum ?!?)
beispiel:
span( [mm] $\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0}$ [/mm] )
spannt eine Ebene auf, also ist das Erzeugendensystem der beiden Vektoren gerade die Ebene durch den Nullpunkt, die durch die beiden Vektoren (als "Richtungsvektoren") aufgespannt wird.
allerdings ist span( [mm] $\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{3\\1\\0}$ [/mm] )
immernoch dieselbe Ebene, denn der dritte Vektor erzeugt keine neue Richtung (er ist linear abhängig von den anderen beiden), also wird weiterhin dieselbe Ebene aufgespannt - es ist nicht verlangt, dass alle Vektoren linear unabhängig sein müssten.
Alle Vektoren sind genau dann linear unabhängig , wenn sie ein minimales Erzeugendensystem also eine Basis des aufgespannten UVR sind!
(minimal bedeutet also, wenn man einen Vektor streichen würde, kommt nicht mehr derselbe UVR raus als Erzeugnis)
D.h. also : eine Basis ist eine besondere Menge von erzeugenden Vektoren, nämlich solche, die minimal sind bzgl der Anzahl.
(oder äquivalent: eine Basis ist eine maximale Menge linear unabhängiger Vektoren)
also zu deiner Aufgabe:
Wenn du zeigst, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind, dann weißt du schon, dass sie eine Basis bilden, denn der Raum hat bekannterweise die Basislänge 3 - damit sind deine Vektoren maximal (bzgl anzahl), also eine Basis.
> Also ich weiß, dass die Vektoren eine Basis des
> Anschauungsraumes bilden, wenn sie linear unabhängig sind
> und wenn sie ein Erzeugersytem sind.
Das "und" ist hier eindeutig falsch.
sie bilden eine Basis, wenn sie maximal linear unabhängig sind
oder (was äquivalent ist)
wenn sie minimal erzeugend sind
das erste scheinst du ja schon bewiesen zu haben, also bist du schon fertig, wenn du ncoh dazu schreibst, dass die maximale Länge 3 ist.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 30.12.2006 | | Autor: | LAcity |
Alles klar, habe ich verstanden!!!
DANKE!
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