Erzeugendensystem & Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Di 01.08.2006 | | Autor: | Gimmy |
| Aufgabe | Die Frage ist zunächst, ob die 3 Vektoren LU sind:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -2 \\ 1}, \vektor{-2 \\ -3 \\ 4 \\ 2}, \vektor{-2 \\ -2 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
Desweiteren:
- Bestimmen Sie eine Basis von S
- Wie lautet die Dimension |
Hallo Leute,
Zunächst mal mein Ansatz...
Ich führe den GJA-T1 durch und komme somit auf 2 ausgezeichnete Spalten, deshalb sind diese 3 Vektoren LA. Richtig?
Nun kommen die Unsicherheiten...
- Bilden die Vektoren in den ausgezeichneten Spalten das Erzeugendensystem? Wann ja, warum?
- Die Basis müsste dann in diesem Fall = dem Erzeugendensystem sein, oder? Der Vektor v3 lässt sich ja durch die übrigen darstellen... (Spalte nicht ausgez.)
- Die Dimension ist meiner Meinung nach gleich der Anzahl der Auszeichnungen, also 2. Richtig?
Ich wäre für eure Hilfe sehr dankbar!
MfG
Gimmy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Mi 02.08.2006 | | Autor: | statler |
> Die Frage ist zunächst, ob die 3 Vektoren LU sind:
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -2 \\ 1}, \vektor{-2 \\ -3 \\ 4 \\ 2}, \vektor{-2 \\ -2 \\ 3 \\ 6}[/mm]
>
> Desweiteren:
> - Bestimmen Sie eine Basis von S
> - Wie lautet die Dimension
Hallo du Leut, also im Ernst: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zunächst mal mein Ansatz...
>
> Ich führe den GJA-T1 durch und komme somit auf 2
> ausgezeichnete Spalten, deshalb sind diese 3 Vektoren LA.
> Richtig?
Was ist denn der GJA-T1? Ich gehe einfach mal davon aus, daß du bis hier alles richtig gemacht hast. Nach meinem Verfahren würde ich sonst ein Gleichungssystem aufstellen und lösen und hoffentlich zum gleichen Ergebnis kommen.
> Nun kommen die Unsicherheiten...
> - Bilden die Vektoren in den ausgezeichneten Spalten das
> Erzeugendensystem? Wann ja, warum?
Aus einem Erz.-System kann ich natürlich einen Vektor, der sich durch die anderen darstellen läßt, herausstreichen, was überbleibt, ist immer noch ein Erz.-System.
> - Die Basis müsste dann in diesem Fall = dem
> Erzeugendensystem sein, oder?
Ein Erz.-System aus linear unabhängigen Vektoren ist eine Basis, so definiert man üblicherweise, was 'Basis' bedeuten soll.
> Der Vektor v3 lässt sich ja
> durch die übrigen darstellen... (Spalte nicht ausgez.)
Wenn v3 der letzte (rechteste) Vektor sein soll, stimmt das nach meiner Überschlagsrechnung im Kopf nicht. Dann wäre das unten falsch, obwohl der Gedankengang richtig ist.
> - Die Dimension ist meiner Meinung nach gleich der Anzahl
> der Auszeichnungen, also 2. Richtig?
S. o.; vielleicht rechnen wir beide alles nochmal nach. Oder jd. anders ist schneller, ich lasse die Frage mal auf teilweise beantwortet.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mi 02.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo nochmal!
> Die Frage ist zunächst, ob die 3 Vektoren LU sind:
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -2 \\ 1}, \vektor{-2 \\ -3 \\ 4 \\ 2}, \vektor{-2 \\ -2 \\ 3 \\ 6}[/mm]
>
> Desweiteren:
> - Bestimmen Sie eine Basis von S
> - Wie lautet die Dimension
Die 3 Vektoren sind lin. unabhängig, dann bilden sie eine Basis des von ihnen aufgespannten Raums, und dessen Dim. ist dann 3.
Mahlzeit
Dieter
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