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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Mi 25.02.2009 | | Autor: | can19 |
Hallo,
ich habe eine frage bzgl. erzeugendensystem.
und zwar ein erzeugendensystem muss nicht immer eine basis sein.
ein erzeugendsystem ist eine menge aus vektoren der ebene, wenn man jeden vektor der ebene durch eine linearkombination der vektoren darstellen kann. sind damit die einheitsvektoren gemeint...? erst wenn ich die einheitsvektoren durch die vektoren darstellen kann, dann kann ich erst vom erzeugendensystem reden?
zum beispiel hab ich drei vektoren die linear unabhängig sind [mm] \vektor{2\\4\\6} \vektor{3\\7\\5} \vektor{7\\11\\0}
[/mm]
da diese vektoren linear unabhängig sind bilden sie eine Basis.
Aber kein erzeugendensystem, da sie sich nicht als einheitsvektoren darstellen lassen.
bitte um hilfe...!!
danke im voraus!!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:46 Do 26.02.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
eine Basis ist ein Erzeugendensystem, dessen Vektoren linear unabhängig sind.
[mm] $\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1}, \vektor{0\\1\\1}$
[/mm]
ist ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^3$, [/mm] aber keine Basis, weil die Vektoren nicht linear unabhängig sind.
[mm] $\vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
ist Erzeugendensystem und Basis.
> Hallo,
> ich habe eine frage bzgl. erzeugendensystem.
> und zwar ein erzeugendensystem muss nicht immer eine basis
> sein.
Ja.
> ein erzeugendsystem ist eine menge aus vektoren der ebene,
> wenn man jeden vektor der ebene durch eine
Muß keine Ebene sein.
> linearkombination der vektoren darstellen kann. sind damit
> die einheitsvektoren gemeint...? erst wenn ich die
Die Einheitsvektoren müssen nicht unbedingt Teil des Unterraums sein, den wir betrachten.
Nehmen wir den von [mm] $\vektor{1\\1\\0}$ [/mm] erzeugten Unterraum des [mm] $\IR^3$. [/mm] (d.h. eine Gerade, die die x-y-Ebene diagonal halbiert).
[mm] $\vektor{1\\1\\0}$ [/mm] erzeugt wie schon gesagt den Unterraum und ist damit Erzeugendensystem. Es ist auch eine Basis, weil alle Vektoren des Erzeugendensystems (d.h. der eine) linear unabhängig sind.
[mm] $\vektor{1\\1\\0}, \vektor{-1\\-1\\0}$ [/mm] erzeugt die gleiche Gerade, aber die Vektoren sind nicht unabhängig.
Du kannst aus einem Erzeugendensystem eine Basis gewinnen, indem Du so lange linear abhängige Vektoren rausschmeißt bis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem übrig bleibt (im allerersten Beispiel oben kann ich den ersten Vektor nicht entfernen, weil er linear unabhängig zu allen anderen ist, von den drei restlichen kann ich allerdings auf einen verzichten)
> zum beispiel hab ich drei vektoren die linear unabhängig
> sind [mm]\vektor{2\\4\\6} \vektor{3\\7\\5} \vektor{7\\11\\0}[/mm]
>
> da diese vektoren linear unabhängig sind bilden sie eine
> Basis.
Sind Basis und Erzeugendensystem
> Aber kein erzeugendensystem, da sie sich nicht als
> einheitsvektoren darstellen lassen.
? Du kannst die Einheitsvektoren durch die drei darstellen.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Do 26.02.2009 | | Autor: | can19 |
ahhh vielen dank stefan!!! ;)
lg
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