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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Do 03.01.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper. Zeigen Sie: Das System [mm] (v_{\lambda})_{\lambda \in K}, [/mm] wobei [mm] v_{\lambda}=(1, \lambda, \lambda^{2}, \lambda^{3},...), [/mm] ist kein Erzeugendensystem des [mm] K^{\IN}. [/mm] |
Hallo,
ich weiß, was ein Erzeugendensystem ist. Meine Idee wäre jetzt zu zeigen, dass sich ein beliebiger Vektor mit Hilfe dieses Systems an Vektoren nicht erzeugen lässt. Aber da finde ich irgendwie keinen.
Wäre über jeden Tipp dankbar!
Grüße
kiri
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> Sei K ein Körper. Zeigen Sie: Das System
> [mm](v_{\lambda})_{\lambda \in K},[/mm] wobei [mm]v_{\lambda}=(1, \lambda, \lambda^{2}, \lambda^{3},...),[/mm]
> ist kein Erzeugendensystem des [mm]K^{\IN}.[/mm]
> Hallo,
> ich weiß, was ein Erzeugendensystem ist. Meine Idee wäre
> jetzt zu zeigen, dass sich ein beliebiger Vektor mit Hilfe
> dieses Systems an Vektoren nicht erzeugen lässt. Aber da
> finde ich irgendwie keinen.
>
> Wäre über jeden Tipp dankbar!
Hallo,
ich glaube, ich hab's - hab' messerscharf nachdenken müssen dafür...
[mm] (v_{\lambda})_{\lambda \in K} [/mm] ist linear unabhängig - das habe ich mir mithilfe der Vandermondedeterminante überlegt.
Dann habe ich gezeigt, daß man [mm] f_2:=(1,1,0,0,...) [/mm] nicht als Linearkombination der [mm] v_{\lambda_i} [/mm] darstellen kann:
Angenommen es gibt ein [mm] n\in \IN [/mm] , [mm] a_i \in [/mm] K und [mm] \lambda_i \in [/mm] K so, daß
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_iv_{\lambda_i}=f_2.
[/mm]
Nun schaue ich das Ganze erst ab der zweiten Komponente an, schneide also die erste Komponente ab:
[mm] ==>\summe_{i=1}^{n}a_i\lambda_iv_{\lambda_i} [/mm] = (1,0,0,...)
(Es ist [mm] (\lambda, \lambda^2, \lambda^3,...)=\lambda(1,\lambda, \lambda^2,...), [/mm] daher rührt das [mm] a_i\lambda_i)
[/mm]
Dasselbe Procedere, Weglassen der ersten Komponente, nocheinmal:
==> [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i\lambda_i^2v_{\lambda_i}=(0,0,0,...)
[/mm]
Aus der linearen Unabhängigkeit der [mm] v_{\lambda_i} [/mm] folgt
[mm] a_i\lambda_i^2=0 [/mm] für alle i.
Wir sind in einem Körper, allso nullteilerfrei, und die [mm] \lambda_i [/mm] sind alle verschieden, also ist höchstens eines der [mm] \lambda_i [/mm] =0.
==> [mm] a_i=0 [/mm] für alle i oder (oBdA) ( [mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] a_2=...=a_n=0),
[/mm]
und beide Fälle kann man nun durch Einsetzen in [mm] \summe_{i=1}^{n}a_iv_{\lambda_i}=f_2 [/mm] bzw. [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i\lambda_iv_{\lambda_i} [/mm] = (1,0,0,...) zum Widerspruch führen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Fr 04.01.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
ich danke dir wieder mal vielmals!
Da muss man erstmal drauf kommen....
Kannst du das kurz mit der Vandermondedeterminante noch einmal ausführen, da wir dies in der Vorlesung noch nicht hatten...
Grüße kiri
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> Kannst du das kurz mit der Vandermondedeterminante noch
> einmal ausführen,
Hallo,
die Vandermondedeterminante/-matrix findest Du auch im Netz, deshalb fasse ich mich sehr kurz.
Wenn Du Material gesichtet hast und Dinge nicht verstehst, kannst Du ja nochmal fragen.
Man kann zeigen (Buch, Internet, Forum), daß die nxn-Matrix mit den Zeilen oder Spalten
[mm] (1,\lambda_i^1, \lambda_i^2, [/mm] ..., [mm] \lambda_i^{n-1}) [/mm] eine von Null verschiedene Determinante hat, sofern die [mm] \lambda_i [/mm] alle verschieden sind, was ja bedeutet, daß die [mm] (1,\lambda_i^1, \lambda_i^2, [/mm] ..., [mm] \lambda_i^{n-1}) [/mm] linear unabhängig sind.
Sie sind und bleiben linear unabhängig, auch wenn ich noch lauter Komponenten dranhänge, das ist mein Gedanke gewesen.
Gruß v. Angela
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