Erzeugenden funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:54 Fr 09.01.2015 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Die Zufallsvariable $X $ sei negativ binomialverteilt mit Parametern $r [mm] \in \IN$ [/mm] und $p [mm] \in [/mm] (0,1).$ Die Zähldichte von $X$ ist somit gegeben durch
$P(X=k)= [mm] \binom{r+k-1}{k}*p^r+(1-p)^k [/mm] = [mm] \binom{-r}{k}p^r(p-1)^k [/mm] $ für $ k [mm] \in \IN_0$
[/mm]
$a) $Bestimmen sie die erzeugende Funktion [mm] $f_X$ [/mm] von $X$
$b)$ Sei auch $Y $eine negativ binomialverteilte Zufallsvariabel mit parametern $s [mm] \in \IN$ [/mm] und $p$,die von$ X $unabhängig ist.Bestimmen sie die Verteilung $X+Y$
$c)$ Bestimmen sie $E(X)$ und $Var(X)$ |
$a) [mm] m_X(t) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\binom{-r}{k}p^r(p-1)^k*t^k =p^r*\summe_{i=1}^{\infty}\binom{-r}{k}(p-1)^k*t^k [/mm] = [mm] p^r*\summe_{i=1}^{\infty}\binom{-r}{k}(p-1*t)^k [/mm] = [mm] p^r*\summe_{i=1}^{\infty}\binom{-r}{k}(-(1-p)*t)^k [/mm] = [mm] p^r*(1-(1-p)*t)^{-r}= \frac{ p^r}{(1-(1-p)*t)^r} [/mm] = [mm] (\frac{p}{(1-(1-p)*t)})^r [/mm] $
das gilt falls $|t|< [mm] \frac{1}{(1-(1-p)*t)},$
[/mm]
weil sonst würde der Nenner null werden
$b) [mm] m_X(t) [/mm] = [mm] (\frac{p}{(1-(1-p)*t)})^r, m_Y(t)=(\frac{p}{(1-(1-p)*t)})^s$
[/mm]
[mm] $m_X(t) *m_Y(t)=m_{X+Y}(t)=(\frac{p}{(1-(1-p)*t)^2})^{r+s}=\frac{ p^{r+s}}{(1-(1-p)*t)^2^{r+s}}= p^{r+s}* \frac{1}{(1-(1-p)*t)^2)^{r+s}}= p^{r+s}*\summe_{i=1}^{\infty} \binom{-(r+s)}{k}((1-(1-p)*t)^2)^k [/mm] $
c) habe ich leider keine Ahnung...:/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 11.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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