Erz.Sys. zu Basis verkleinern < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $ A $ eine algebraische Struktur. Falls $ A $ frei über irgendeiner Menge ist, lässt sich dann jede erzeugende Menge von $ A$ zu einer freien Basis verkleinern? |
Hallo Matheraum,
Ich denke meine Frage ist elementar, ich kenne mich damit allerdings nicht aus. Ich habe im Kopf, dass die Behauptung richtig ist für Vektorräume über einem festen Körper. Stimmt das?
Falls die Behauptung wahr ist, ist der Beweis formal, oder benötigt man Auswahlen?
Ich hoffe, mir kann das kurz jemand abnicken  Falls es interessante verwandte Resultate oder sonstige Zusatzinfos gibt, sind natürlich auch solche gern gesehen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Weiß wirklich niemand Bescheid?
Ich formuliere die Frage nochmal speziell für Vektorräume: Gegeben sei ein Vektorraum $V$, welcher von einer Teilmenge $S$ von $V$ erzeugt werde. Existiert dann eine Teilmenge von $S$, welche eine Basis von $V$ bildet?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mo 19.05.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
> Weiß wirklich niemand Bescheid?
Mit dem allgemeinen Setting kenne ich mich auch nicht aus.
> Ich formuliere die Frage nochmal speziell für
> Vektorräume: Gegeben sei ein Vektorraum [mm]V[/mm], welcher von
> einer Teilmenge [mm]S[/mm] von [mm]V[/mm] erzeugt werde. Existiert dann eine
> Teilmenge von [mm]S[/mm], welche eine Basis von [mm]V[/mm] bildet?
Ja.
Beweisskizze: Mittels Lemma von Zorn lässt sich unter den linear unabhängigen Teilmengen von $S$ eine maximale solche finden, nennen wir sie $B$. Wegen der Maximalität von $B$ gilt [mm] $S\subseteq\langle B\rangle$ [/mm] und damit [mm] $\langle B\rangle=V$.
[/mm]
Die Verwendung des Auswahlaxioms ist (im Falle der Konsistenz von ZF) notwendig: Die behauptete Aussage impliziert, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt und das ist bekanntlich äquivalent zum Auswahlaxiom.
Viele Grüße
Tobias
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Erstmal danke Tobias für den Beweis für Vektorräume. Für die naheliegendste Verallgemeinerung, $ [mm] \IZ [/mm] $-Moduln schlägt das ganze schon fehl: [mm] $\IZ=\langle 2,3\rangle [/mm] $.
Könnte ein Moderator die Frage abhaken?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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