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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Di 03.07.2007 | | Autor: | Jana85 |
Hi Jungs und Mädels in diesem Forum,
ich bin neu hier und habe da gleich mal eine Frage in Sachen Algebra für euch, ich hoffe ihr könnt mir helfen! Also eine Idee habe ich ja schon und zwar suche ich einen injektiven Ringhomomorphismus, dann kann ich die Inklusion damit beweisen, nur habe ich den Ringhomo. noch nicht "gefunden".
Also:
K sei ein Körper und p(X) /in K[X] ist irreduzibles Polynom vom Grad d. Nach der Vorlesung folgt dann, dass auch L:=K[X]/(p) (wobei (p) hier das von {p(X)} erzeugte Ideal sein soll????) ein Körper. Zeige, dass L den Ausgangskö.rper K als Unterring enthält (genauer: eine isomorphe Kopie).
Welche Dimension hat L als Vektorraum über K?
Also das war die Aufgabe und wie gesagt, ich hatte die Idee einen injektiven Ringhomo. zu nehmen, der von K ---> L abbildet und daraus könnte man dann schließen, dass K Teilmenge von L ist... Stimmt diese Überlegung überhaupt??? Auf jeden Fall bräuchte ich eure Tipps und Hilfe für die Aufgabe, ich komme nämlich überhaupt nicht weiter...
Grüße
Jana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Mi 04.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hoi Jana
> ich bin neu hier und habe da gleich mal eine Frage in
> Sachen Algebra für euch, ich hoffe ihr könnt mir helfen!
> Also eine Idee habe ich ja schon und zwar suche ich einen
> injektiven Ringhomomorphismus, dann kann ich die Inklusion
> damit beweisen, nur habe ich den Ringhomo. noch nicht
> "gefunden".
>
> Also:
>
> K sei ein Körper und p(X) /in K[X] ist irreduzibles Polynom
> vom Grad d. Nach der Vorlesung folgt dann, dass auch
> L:=K[X]/(p) (wobei (p) hier das von {p(X)} erzeugte Ideal
> sein soll????)
Ja, dass soll es sein.
> ein Körper. Zeige, dass L den
> Ausgangskö.rper K als Unterring enthält (genauer: eine
> isomorphe Kopie).
> Welche Dimension hat L als Vektorraum über K?
>
> Also das war die Aufgabe und wie gesagt, ich hatte die Idee
> einen injektiven Ringhomo. zu nehmen, der von K ---> L
> abbildet und daraus könnte man dann schließen, dass K
> Teilmenge von L ist... Stimmt diese Überlegung überhaupt???
Ja, sie stimmt.
> Auf jeden Fall bräuchte ich eure Tipps und Hilfe für die
> Aufgabe, ich komme nämlich überhaupt nicht weiter...
Ueberleg dir doch erstmal, wie $L$ aussieht: es ist ja $L = [mm] \{ f + (p) \mid f \in K[x] \}$. [/mm] Und per Division mit Rest bekommt man dann $L = [mm] \{ f + (p) \mid f \in K[x], \deg f < \deg p \}$. [/mm] Und man sieht sogar, dass jedes Element aus $L$ eindeutig von der Form $f + (p)$ ist mit $f [mm] \in [/mm] K[x]$, [mm] $\deg [/mm] f < [mm] \deg [/mm] p$.
So. Wie bekommt man jetzt $K$ in $L$? Also, erstmal solltest du drueber nachdenken, wie du $K$ in $K[x]$ reinbekommst (auch ueber einen injektiven Homomorphismus). Dann schaust du dir einfach die Verkettung dieser Inklusion mit der Projektion $K[x] [mm] \to [/mm] K[x]/(p) = L$ an; das gibt dir dann einen Ringhomomorphismus $K [mm] \to [/mm] L$. Und da $K$ ein Koerper ist, ist dieser entweder injektiv oder konstant 0 (wobei letzteres nur sein kann, wenn $L$ der Nullring ist, aber das ist nicht der Fall, also ist er injektiv).
Du wirst sehen, das er ganz einfach ist :)
Damit solltest du dann auch sehen, wie die $K$-Vektorraumstruktur von $L$ aussieht, und mit der Beschreibung von $L$ oben solltest du eine $K$-Basis hinschreiben koennen (denk dran, wie eine ganz einfache $K$-Basis von [mm] $\{ f \in K[x] \mid \deg f < \deg p \}$ [/mm] aussieht).
Wenn du nicht weiterkommst, schreib was du bisher hast und frag!
LG Felix
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