Erwartungswert von Z := X(X+Y) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Di 22.02.2011 | | Autor: | pojo |
| Aufgabe | Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter [mm] \lambda
[/mm]
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von Z := X(X+Y)
b) Mit welcher W. ist der Umfang eines Rechteckes mit den Seitenlängen X, Y größer als 3? |
Hallo,
ich weiß bei der Aufgabe leider nicht wirklich, wie ich anfangen soll bzw. ob meine Überlegungen richtig sind (habe keine Lösung dazu).
Für den Erwartungswert gilt ja bekanntlich
EX = [mm] \integral{x \cdot f(x) dx}
[/mm]
sofern es sich um nur eine Zufallsvariable handelt. Da die Variablen exponentialverteilt sind, kenne ich außerdem die Dichtefunktion
[mm] f_X(x) [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda x}
[/mm]
.. aber wie gehe ich vor, wenn ich den Erwartungswert von $Z := X(X+Y)$ ausrechnen muss? $X(X+Y)$ heißt ja quasi [mm] $X^2 [/mm] + XY$. Bringt mich dann die Überlegung
$E(Z) = [mm] E(X^2 [/mm] + XY) = [mm] E(X^2) [/mm] + E(XY) = [mm] E(X^2) [/mm] + (E(X)*E(Y))$
irgendwie weiter oder ist das grob falsch? Dann könnte man ja vielleicht EX und EY einzeln berechnen (= [mm] \frac{1}{\lambda}) [/mm] und damit E(Z).
Zu b) fällt mir leider garnichts ein.
Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Di 22.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und
> exponentialverteilt mit Parameter [mm]\lambda[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von Z := X(X+Y)
> b) Mit welcher W. ist der Umfang eines Rechteckes mit den
> Seitenlängen X, Y größer als 3?
>
>
>
> Hallo,
>
> ich weiß bei der Aufgabe leider nicht wirklich, wie ich
> anfangen soll bzw. ob meine Überlegungen richtig sind
> (habe keine Lösung dazu).
>
> Für den Erwartungswert gilt ja bekanntlich
>
> EX = [mm]\integral{x \cdot f(x) dx}[/mm]
>
> sofern es sich um nur eine Zufallsvariable handelt. Da die
> Variablen exponentialverteilt sind, kenne ich außerdem die
> Dichtefunktion
>
> [mm]f_X(x)[/mm] = [mm]\lambda e^{-\lambda x}[/mm]
>
> .. aber wie gehe ich vor, wenn ich den Erwartungswert von [mm]Z := X(X+Y)[/mm]
> ausrechnen muss? [mm]X(X+Y)[/mm] heißt ja quasi [mm]X^2 + XY[/mm]. Bringt
> mich dann die Überlegung
Eine Moeglichkeit ist, $E(h(X, Y)) = [mm] \int\int [/mm] h(x, y) [mm] f_{X,Y}(x, [/mm] y)$ auszurechnen, falls [mm] $f_{X,Y}$ [/mm] die gemeinsame Dichte ist: da $X$ und $Y$ bei dir unabhaengig sind, gilt [mm] $f_{X,Y}(x, [/mm] y) = [mm] f_X(x) \cdot f_Y(y)$. [/mm] Aber so wie du es machst geht es besser:
> [mm]E(Z) = E(X^2 + XY) = E(X^2) + E(XY) = E(X^2) + (E(X)*E(Y))[/mm]
>
> irgendwie weiter oder ist das grob falsch?
Das stimmt so. Ganz wichtig dafuer ist die Linearitaet des Erwartungswert sowie dass $X$ und $Y$ unabhaengig sind -- ansonsten gilt nicht umbedingt $E(X Y) = E(X) E(Y)$.
> Dann könnte man
> ja vielleicht EX und EY einzeln berechnen (=
> [mm]\frac{1}{\lambda})[/mm] und damit E(Z).
Ja.
> Zu b) fällt mir leider garnichts ein.
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Sei $h(x, y)$ die Funktion, die den Umfang eines Rechteckes mit Seitenlaengen $x$ und $y$ ausrechnet. Du willst dann $P(h(X, Y) > 3) = [mm] P(1_{h(X, Y) > 3})$ [/mm] ausrechnen (hier ist [mm] $1_Z$ [/mm] die Indikatorfunktion zur Menge $Z = [mm] \{ \omega \mid h(X(\omega), Y(\omega)) > 3 \}$). [/mm] Dazu brauchst du die Faltung von $X$ und $Y$ (sagt dir das was?), um das als einfaches Integral auszurechnen, andernfalls bekommst du ein Doppelintegral. (Das ist aber auch nicht so tragisch.  )
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Di 22.02.2011 | | Autor: | pojo |
Hm, also Indikatorfunktion und Faltung sagt mir etwas (zumindest habe ich die Begriffe schonmal gehört), würde es aber glaube ich lieber mit dem Doppelintegral versuchen.
Allerdings wäre ein Ansatz hilfreich, da ich noch nicht ganz sicher bin, wie ich vorgehen soll.
Im Prinzip möchte ich doch $P(2(X+Y) > 3)$ ausrechnen, oder? Ich erinnere mich an ähnliche Aufgaben, bei denen man dann $1 - P(2(X+Y) <= k)$ ausgerechnet hätte, also für $k=0,..,3$. Ginge das in diesem Fall auch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Di 22.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Allerdings wäre ein Ansatz hilfreich, da ich noch nicht
> ganz sicher bin, wie ich vorgehen soll.
>
> Im Prinzip möchte ich doch [mm]P(2(X+Y) > 3)[/mm] ausrechnen, oder?
> Ich erinnere mich an ähnliche Aufgaben, bei denen man dann
> [mm]1 - P(2(X+Y) <= k)[/mm] ausgerechnet hätte, also für [mm]k=0,..,3[/mm].
> Ginge das in diesem Fall auch?
klar, das geht auch.
LG Felix
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