Erwartungswert und Varianz < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Di 24.03.2009 | | Autor: | MALPI |
| Aufgabe | Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Zähldichte
f(k) = C*k/5 für k = 1,2,3,4
für eine Konstante C>0.
a) Bestimmen sie die Konstante C > 0, so dass es sich bei f tatsächlich um die Zähldichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.
b) Bestimmen sie den Erwartungswert von X.
c) Bestimmen sie die Varianz von X.
d) Die diskreten Zufallsvariablen X1,....,Xn seien unabhängig und identisch verteilt mit der obigen Zähldichte f, Bestimmen Sie
E(1/n * [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] Xi) und [mm] Var(1/n*\summe_{i=1}^{n}Xi)
[/mm]
e) Schätzen Sie mit der Tschebychev Ungleichung die folgende Wahrscheinlichkeit nach oben ab:
P [mm] \{|1/n*\summe_{i=1}^{n}Xi-3|>1\} [/mm] |
Hallo,
die Aufgabenteile a-c stellen für mich kein Problem dar. Hier kurz die Werte:
a) c=1/2
b) E[x] = 3
c) [mm] E[x^2]=10 [/mm] Var[x]=1
doch ab der d) fängt es an zu hapern - hier macht mir das Verständnis der Aufgabenstellung Probleme. Bilde ich das arithmetische Mittel über k und setze das in den Erwartungswert ein? Bei der Varianz würde ich ähnlich verfahren - Frage ist nur. ob das richtig ist.
Bei der d müsste man meiner Meinung nach die berechnete Varianz aus Aufgabenteil d einsetzen, das geht aber leider nicht ohne die d.
Ich hoffe mir kann hier einer helfen -- vlt denke ich einfach zu kompliziert.
Grüße Malpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 24.03.2009 | | Autor: | vivo |
> Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Zähldichte
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> f(k) = C*k/5 für k = 1,2,3,4
>
> für eine Konstante C>0.
>
> a) Bestimmen sie die Konstante C > 0, so dass es sich bei f
> tatsächlich um die Zähldichte einer
> Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.
>
> b) Bestimmen sie den Erwartungswert von X.
>
> c) Bestimmen sie die Varianz von X.
>
> d) Die diskreten Zufallsvariablen X1,....,Xn seien
> unabhängig und identisch verteilt mit der obigen Zähldichte
> f, Bestimmen Sie
>
> E(1/n * [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] Xi) und
> [mm]Var(1/n*\summe_{i=1}^{n}Xi)[/mm]
>
> e) Schätzen Sie mit der Tschebychev Ungleichung die
> folgende Wahrscheinlichkeit nach oben ab:
>
> P [mm]\{|1/n*\summe_{i=1}^{n}Xi-3|>1\}[/mm]
> Hallo,
>
> die Aufgabenteile a-c stellen für mich kein Problem dar.
> Hier kurz die Werte:
>
> a) c=1/2
> b) E[x] = 3
> c) [mm]E[x^2]=10[/mm] Var[x]=1
>
alles drei stimmt!
> doch ab der d) fängt es an zu hapern - hier macht mir das
> Verständnis der Aufgabenstellung Probleme. Bilde ich das
> arithmetische Mittel über k und setze das in den
> Erwartungswert ein? Bei der Varianz würde ich ähnlich
> verfahren - Frage ist nur. ob das richtig ist.
[mm]E(1/n * \summe_{i=1}^{n} X_i) = \bruch{1}{n}E(\summe_{i=1}^{n} X_i) = \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} E(X_i) = E(X_i) = 3[/mm] nach den Rechenregeln für EW und da unabhängig identisch verteilt.
[mm]Var(1/n*\summe_{i=1}^{n}X_i)= \bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}Var(X_i)=\bruch{1}{n^2}n=\bruch{1}{n}[/mm] nach Rechenregeln für Varianz und da unabhängig
>
> Bei der d müsste man meiner Meinung nach die berechnete
> Varianz aus Aufgabenteil d einsetzen, das geht aber leider
> nicht ohne die d.
die e) kriegst du denke ich hin
gruß
> Ich hoffe mir kann hier einer helfen -- vlt denke ich
> einfach zu kompliziert.
>
> Grüße Malpi
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