Erwartungswert stetiger ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Fr 17.07.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Es seien X bzw. K Zufallsvariablen, mit denen Gesprächsdauer bzw. Kosten eines Telefonanrufs beschrieben werden können. X sei stetig verteilt mit der Dichte
[mm] f(x)=\begin{cases} 4xe^{-2x}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ 0, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
Die Kosten eines Anrufs der Länge y betragen
[mm] k(y)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } y \le 4 \\ \bruch{1}{4}y, & \mbox{für } y > 4 \end{cases}
[/mm]
Man ermittle den Erwartungswert der Zufallsvariablen K. |
Hallo,
Meine überlegung zur Lösung: Die zu erwartenden Kosten hängen von der zu erwartenden Gesprächsdauer ab. Ich berechne also zuerst die zu erwartende Gesprächsdauer und setze das Ergebnis in die Kostenfunktion ein.
Erwartungswert für f(x):
E(x) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x * f(x) dx} [/mm] = 4 * [mm] \integral_{0}^{\infty}{xe^{-2x} dx} [/mm] = 2
Erwartungswert in k(y) einsetzen:
k(2) = 1
Damit komme ich auf das Ergebnis 1 für den Erwartungswert der Kosten eines Gesprächs.
--------------
Problem:
Die Musterlösung macht es etwas anders, geht nämlich von
K = k(X) aus, setzt also die Zufallsvariable von X in die Funktion k(y) ein. Es folgt die Gleichung
E(K) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{k(x)f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{4}{1 * 4xe^{-2x} dx} [/mm] + [mm] \integral_{4}^{\infty}{\bruch{1}{4}x * 4xe^{-2x} dx} [/mm] = 1,00042
Meine und deren Lösung unterscheiden sich nur im 0,00042... könnte es sein, dass beides "richtig" ist?
lg
magics
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Fr 17.07.2015 | | Autor: | rmix22 |
Nein, deine Methode, bei der du ausschließlich den Erwartungswert von x berücksichtigst, ist falsch.
Du kannst das allein daran erkennen, dass bei dir die höheren und steigenden Kosten für Telefonate über vier Zeiteinheiten absolut keine Berücksichtigung finden. So, als wäre es ausgeschlossen, dass solche Telefonate überhaupt möglich sind.
Allein der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit für längere (>4) Telefonate bei nur 0,3% liegt und die Kosten dann auch nur relativ moderat steigen, ist es zu danken, dass dein Ergebnis in der Nähe des richtigen Werts liegt.
Lass die Kosten ab x=2 exponentiell steigen (oder, rechentechnisch einfacher: setzte die Kosten für ein Telefonat ab x=2 konstant mit 10^10 fest) und rechne dann mit beiden Methoden das Ganze durch.
Die Kosten pro Telefonat sind eine neue Zufallsvariable und die musst du im gesamten Bereich berücksichtigen, wenn du deren Erwartungswert berechnest.
Übrigens hast du bei der Berechnung des Erwartungswerts von x zwei Fehler gemacht.
1) das könnte ein Tippfehler sein - es fehlt ein Quadrat beim x
2) Das Ergebnis ist (mit oder ohne dem fehlenden Quadrat 1, nicht 2.
Gruß RMix
|
|
|
|
