Erwartungswert berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mo 15.01.2007 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Die Massabweichung Y einer Maschinenwelle (in Hundertstel-Millimeter) soll durch die Zähl-Dichte [mm] f^Y(k)=c*(0,3)^{|k|} [/mm] auf [mm] \IZ [/mm] beschrieben werden.
Man bestimme die Konstante c und berechne die Erwartungswerte von Y und |Y|. |
Hallo,
bin mir nicht ganz sicher ob das so korrekt ist. Vielleicht kann ja jemand mal drüber schauen. Das wäre mir eine große Hilfe. Dank im voraus.
Für c habe ich folgendes berechnet: [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} f^Y(k) [/mm] = 1 also [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} c*(0,3)^{|k|} [/mm] = [mm] \summe_{k=-\infty}^{-1}c*(0,3)^{|k|} +\summe_{k=0}^{\infty}c*(0,3)^k [/mm] = [mm] 2*(c*(\summe_{k=1}^{\infty}(0,3)^k))+c [/mm] = 1
Für den Ausdruck in den zweiten Klammern erhält man die geometrische Reihe also kann man wie folgt schreiben: [mm] 2*(c*(\bruch{1}{1-0,3}))+c=1 [/mm] und somit erhalte ich für c= [mm] \bruch{7}{27}.
[/mm]
Habe für die Erwartungswert noch nichts berechnet weil ich mir bei c unsicher bin.
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Mo 15.01.2007 | | Autor: | luis52 |
> Für c habe ich folgendes berechnet:
> [mm]\summe_{k=-\infty}^{\infty} f^Y(k)[/mm] = 1 also
> [mm]\summe_{k=-\infty}^{\infty} c*(0,3)^{|k|}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=-\infty}^{-1}c*(0,3)^{|k|} +\summe_{k=0}^{\infty}c*(0,3)^k[/mm]
> = [mm]2*(c*(\summe_{k=1}^{\infty}(0,3)^k))+c[/mm] = 1
> Für den Ausdruck in den zweiten Klammern erhält man die
> geometrische Reihe also kann man wie folgt schreiben:
> [mm]2*(c*(\bruch{1}{1-0,3}))+c=1[/mm] und somit erhalte ich für c=
> [mm]\bruch{7}{27}.[/mm]
Ich fuerchte, du hast uebersehen, dass die Summe bei 1 beginnt. Fuer $|q|<1$ ist [mm] $\sum_{i=1}^\infty q^i=q/(1-q)$. [/mm] Damit erhalte *ich* $c=7/13$.
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 15.01.2007 | | Autor: | vicky |
Hallo,
stimmt, wie dumm von mir. Ich habe nicht den Index bei der Summe beachtet. Habe es aber nochmal nachgerechnet und erhalte ebenso für c= [mm] \bruch{7}{13}.
[/mm]
Wie kann ich nun weiter machen? Um den Erwartungswert von Y (kurz EY) zu berechnen haben wir gelernt in Positiv- und Negativteil zu unterscheiden (bei unendlichem Wertebereich). Wenn nicht beide [mm] \infty [/mm] sind dann können wir den Erwartungswert bestimmen und EY = [mm] EY^{+} [/mm] - [mm] EY^{-} [/mm] und für E|Y| = [mm] EY^{+ }+ EY^{-} [/mm] .
D.h. [mm] EY^{+} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{7}{13}*(0,3)^k [/mm] und [mm] EY^{-} =\summe_{k=-1}^{-\infty} \bruch{7}{13}*(0,3)^{|k|}.
[/mm]
Was mich jetzt verwirrt ist die 0 (also k=0). Wo kommt das mit hin (positiv- oder negativteil oder noch was anderes?)?
Danke für die Hilfe.
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mo 15.01.2007 | | Autor: | luis52 |
>
> Wie kann ich nun weiter machen? Um den Erwartungswert von Y
> (kurz EY) zu berechnen haben wir gelernt in Positiv- und
> Negativteil zu unterscheiden (bei unendlichem
> Wertebereich). Wenn nicht beide [mm]\infty[/mm] sind dann können wir
> den Erwartungswert bestimmen und EY = [mm]EY^{+}[/mm] - [mm]EY^{-}[/mm] und
> für E|Y| = [mm]EY^{+ }+ EY^{-}[/mm] .
> D.h. [mm]EY^{+}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{7}{13}*(0,3)^k[/mm]
> und [mm]EY^{-} =\summe_{k=-1}^{-\infty} \bruch{7}{13}*(0,3)^{|k|}.[/mm]
Moin Vicky,
deine Formel fuer den Erwartungswert ist leider nicht korrekt. Du musst [mm] $\mbox{E}[Y]=\sum_{k=-\infty}^\infty [/mm] k [mm] 0.3^{|k|}$ [/mm] ausrechnen. Das ist nicht schwer, wenn du zuerst [mm] $\mbox{E}[|Y|] =\sum_{k=-\infty}^\infty [/mm] |k| [mm] 0.3^{|k|}$ [/mm] ausrechnest. Das zeigt naemlich, dass die Reihe [mm] $\sum_{k=-\infty}^\infty [/mm] k [mm] 0.3^{|k|}$ [/mm] absolut konvergiert. Nach einem bekannten Satz aus der Analysis kannst du den Grenzwert sofort angeben: [mm] $\mbox{E}[Y]=0$. [/mm]
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mo 15.01.2007 | | Autor: | vicky |
Hallo,
danke für die Antwort. Ich bin nun ein bisschen verwirrt. Wir haben in der Vorlesung jedoch bei einem unendlichen Wertebereich diese Unterscheiden in Positiv- und Negativteil eingeführt und nun brauche ich das gar nicht? Hm, das macht die Berechnung etwas einfacher aber wann muß in denn in positiv und negativ unterscheiden und wann nicht. Ich glaube ich habe mich da jetzt ein wenig festgebissen.
Desweiteren wollte ich fragen wo das c= [mm] \bruch{7}{13} [/mm] geblieben ist. Kann ich das weglassen weil der ausdruck eh Null wird?
Nochmals vielen vielen Dank für die Hilfe.
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 15.01.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
>
> danke für die Antwort. Ich bin nun ein bisschen verwirrt.
Das war nicht meine Absicht.
> Wir haben in der Vorlesung jedoch bei einem unendlichen
> Wertebereich diese Unterscheiden in Positiv- und
> Negativteil eingeführt und nun brauche ich das gar nicht?
Doch, du hast diese Unterteilung bei der Bestimmung des $c$ gemacht.
> Hm, das macht die Berechnung etwas einfacher aber wann muß
> in denn in positiv und negativ unterscheiden und wann
> nicht. Ich glaube ich habe mich da jetzt ein wenig
> festgebissen.
Wenn dir das lieber ist, kannst du den Erwartungswert [mm] $\mbox{E}[Y]$ [/mm] auch berechnen, indem du den Negativ- und Positivteil getrennt betrachtest. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass man den Erwartungswert auch direkt ablesen kann.
> Desweiteren wollte ich fragen wo das c= [mm]\bruch{7}{13}[/mm]
> geblieben ist. Kann ich das weglassen weil der ausdruck eh
> Null wird?
Nein, da habe ich geschlampt. Der Faktor muss da noch hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Di 16.01.2007 | | Autor: | vicky |
Guten Morgen zusammen,
vielen Dank nochmal für die Antwort. Habe mir die Aufgabe nochmal genauer angesehen und es auch erkannt das man es eben auch so ablesen kann.
Wenn ich nun aber in Postiv- und Negativteil unterteile erhalte ich (wie überraschend) das gleich weil sich der Positiv- und der Negativteil aufheben und das mit der Null ist eh irrelevant weil der Ausdruck [mm] 0*\bruch{7}{13}*(0,3)^0 [/mm] rausfällt, da 0*1(in diesem Fall) wieder Null ist und das Ergebnis nicht beeinträchtigt.
Mußte erstmal ne Nacht drüber schlafen und jetzt ist mir einiges klarer.
Für den Betrag des Erwartungswertes von Y (also E[|Y|]) erhalte ich [mm] \bruch{14}{13}\summe_{k=1}^{\infty}k*(0,3)^k. [/mm] Ist das so richtig? Kann man das noch vereinfachen?
Vielen Dank für die Hilfe.
Beste Grüße
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Di 16.01.2007 | | Autor: | luis52 |
> Für den Betrag des Erwartungswertes von Y (also E[|Y|])
> erhalte ich [mm]\bruch{14}{13}\summe_{k=1}^{\infty}k*(0,3)^k.[/mm]
> Ist das so richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann man das noch vereinfachen?
Ja, fuer $|q|<1$ ist [mm] $\sum_{i=1}iq^i=\frac{q}{(1-q)^2}$. [/mm] *Ich* erhalte so [mm] $\mbox{E}[|Y|]=\frac{60}{91}=0.659$.
[/mm]
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
>
Gerne.
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