Erwartungswert, Äquivalenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Sei X eine integrierbare reelle Zufallsvariable, deren Verteilung [mm] P_X [/mm] die Dichte f (bezüglich des Lebesgue-Maßes [mm] \lambda [/mm] ) besitzt. Dann gilt: [mm] E(X)=\integral_{\IR}^{}{xf(x) d(\lambda (x))} [/mm] |
Hi!
Hier weiß ich nicht weiter.
Definiert haben wir den Erwartungswert so:
Falls $X: [mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) [mm] \to (\IR, \mathcal{B})$ [/mm] eine Zufallsvariable ist, so wird definiert:
[mm] $E(X):=\integral_{}^{}{X dP}.
[/mm]
Nun weiß ich weiterhin, dass [mm] P_X([a,b])=\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] gilt, wenn ich die Gegebenheiten richtig verstehe. Aber da hört es auch schon auf. Kann mir jemand bitte einen Ansatz geben?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
grundsätzlich gibt's den Trafosatz für Maße
[mm] $\int_A g\circ [/mm] h\ [mm] d\mu [/mm] = [mm] \int_{h(A)} [/mm] g\ [mm] d\mu\circ h^{-1},$
[/mm]
(Beweis klassisch: Du fängst mit [mm] $g=1_B$ [/mm] an, erweiterst zu einfachen Fkt, etc)
der zusammen mit
[mm] $P(X\in [/mm] dx)= f(x)\ dx$
Deine Behauptung ergibt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke erst einmal. Den Satz hatten wir leider nicht, aber der Beweis geht ja leicht mit dem schrittweisen Vorgehen.
Wie kommst du denn nun auf $P(X [mm] \in [/mm] dx)=f(x)dx$? Ich glaub das Problem liegt darin, dass ich einfach nicht die Dichtefunktion vernünftig einbauen kann.
Kann man denn einfach sagen, dass gilt:
$P(X [mm] \in dx)=\integral_{dx}^{}{f d \lambda}$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 So 11.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi
> Kann man denn einfach sagen, dass gilt:
> $ P(X [mm] \in dx)=\integral_{dx}^{}{f d \lambda} [/mm] $?
NEIN!
Die Dichte [mm] $f_X$ [/mm] ist einfach eine Radon-Nikodym Dichte der Gestalt
[mm] $\frac{d\, P(X\in \cdot)}{d\,\lambda}.$
[/mm]
Wie habt Ihr denn die Lebesgue-Dichte definiert?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 So 11.12.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also die Radon-Nikodym-Dichte sagt mir gar nichts. Ich habe eben mal durch ein Buch geguckt, auf das sich der Professor bezieht, und dort habe ich gefunden, was er mit "Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes" meint.
"Sei [mm] \mu [/mm] ein Maß auf $( [mm] \Omega, \mathcal{A} [/mm] )$ und [mm] $f:\Omega \to [0,\infty [/mm] )$ messbar. Wir sagen, dass das durch
[mm] $v(A):=\integral_{A}^{}{f d \mu}$ [/mm] für $A [mm] \in \mathcal{A}$
[/mm]
definierte Maß $f [mm] \mu [/mm] := v$ die Dichte f bezüglich [mm] \mu [/mm] hat."
Das kann ich wohl benutzen. Also gilt wohl
[mm] $P_X(A)=(P \circ X^{-1})(A)=\integral_{A}^{}{f d \lambda}$, [/mm] wenn ich erst einmal streng nach unserer Definition gehe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 So 11.12.2011 | | Autor: | Blech |
> $ f [mm] \mu [/mm] := v $ die Dichte f bezüglich $ [mm] \mu [/mm] $ hat.
seltsame Schreibweise, nie gesehen. =)
> $ [mm] P_X(A)=(P \circ X^{-1})(A)=\integral_{A}^{}{f d \lambda} [/mm] $.
Ja. Jetzt mußt Du hier aus
[mm] $\int_A\ dP_X [/mm] = [mm] \int_A [/mm] f\ [mm] d\lambda$
[/mm]
noch eine Substitutionsregel konstruieren, um das für allgemeine Integranden g, anstatt nur für Indikatorfunktionen [mm] $1_A$, [/mm] ersetzen zu dürfen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 11.12.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die ganze Hilfe erst einmal. Aber irgendwie will mir nicht gelingen, die eigentlich Aufgabe zu lösen, obwohl die ganzen Sachen, die ich gerade dabei lerne, auch neu und spannend für mich sind.
Ich habe nun versucht diese Regel zu verallgemeinern und bin auf
[mm] \integral_{}^{}{g dP_X}=\integral_{}^{}{g*f d \lambda} [/mm] gekommen.
Nun muss ich ja irgendwie noch den Bogen zu meiner Aufgabe kriegen, oder fehlen mir noch weitere Voraussetzungen? (Man, da wäre ich in 100 Jahren nicht drauf gekommen :/)
Also, der erste Schritt ist ja einfach:
[mm] E(X)=\integral_{}^{}{X dP}.
[/mm]
Ich weiß bis jetzt, dass gilt:
[mm] \integral_{}^{}{g dP_X}=\integral_{}^{}{g*f d \lambda} [/mm] und
[mm] \integral_{A}^{}{g\circ h d \mu}=\integral_{h(A)}^{}{g d (\mu \circ h^{-1})}.
[/mm]
Aber ich sehe noch nicht, wie man die beiden Sachen verwenden könnte. Fehlt da noch irgendwas, oder bin ich einfach nur blind?
Edit:
Mit der einen Zeile aus dem Bauer kam mir die zündende Idee (danke, kamaleonti!):
[mm] $E(X)=\integral_{}^{}{X dP}=\integral_{}^{}{x \circ X dP}=\integral_{}^{}{x dP_X}=\integral_{}^{}{x*f d \lambda}=\integral_{}^{}{x*f(x) d \lambda (x)}$
[/mm]
Eine Frage hätte ich nur noch zum letzten Gleichheitszeichen: Ist es so, dass man die x'e einfach hinzufügen darf, d.h. ist die Schreibweise mit den x'en äquivalent zur Schreibweise ohne sie? Wir haben das nie besprochen, deshalb bin ich mir da etwas unsicher. Aber ansonsten scheint es zu stimmen, der habe ich etwas übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 So 11.12.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
eigentlich fehlt da nichts mehr,
[mm]E[X]=\int_{\Omega}X dP = \int_{\IR}x dP_X = \int_{\IR} x f(x) d(\lambda(x)) [/mm]
erstes Gleichheitszeichen, weil es egal ist ob über [mm]\Omega[/mm] nach [mm]dP[/mm] integriert wird oder über den Bildraum in diesem Fall [mm]\IR[/mm] nach dem Bildmaß [mm]P_X[/mm] der Verteilung von [mm]X[/mm]
da [mm]P_X[/mm] die Dichte [mm]f[/mm] bezüglich des Lebesgue Maß [mm]\lambda[/mm] hat, gilt auch letztes Gleichheitszeichen
Beweisart: erst für Indikatorfunktionen, einfache Funktion ... usw.
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 So 11.12.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, danke!
Ja, die ganzen Sachen habe ich für mich schon bewiesen. Na, dann passt das ja zum Glück alles.
Danke nochmal an alle!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 So 11.12.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo Teufel,
ich kann dir noch keine qualifizierte Antwort geben, da ich mich selbst gerade in das Thema einarbeite. Vielleicht hilft dir aber ein Literaturhinweis:
In H. Bauer "Wahrscheinlichkeitstheorie" findet sich auf Seite 16 ein entsprechender 'Beweis'. Die maßtheoretischen Grundlagen (Trafosatz für Maße) bespricht H. Bauer in "Maß- und Integrationstheorie", Paragraph 19.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 So 11.12.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für das Buch, eine Zeile dort gab mir die richtige Idee!
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