Erwartungswert/ Standardabweic < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Unter 20 Eiern befinden sich drei verdorbene. Daraus werden vier Eier zufällig ausgewählt. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der verdorbenen Eier unter den vier ausgewählten.
a) bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung |
Hallo alle zusammen,
am Mittwoch steht bei mir ne Klassenarbeit in Mathe an und ich häng mal wieder bei einer Übungsaufgabe!
a) [mm] \bruch{ \vektor{3 \\ k}* \vektor{17 \\ 4-k}}{ \vektor{20 \\ 4}}
[/mm]
daraus folgt:
k=0 --> pk=0,4912228
k=1 --> pk=0,4210526
k=2 --> pk=0,0842105
k=3 --> pk=0,0035087
k=4 --> pk=0
b) hier weiß ich gar nicht weiter, da ich genau genommen gar nicht weiß was ich ausrechnen soll. Ich hab zwar irgendwie ne Formel mit nem Summenzeichen, weiß allerdings gar nicht wie ich damit umzugehen habe.
Es wre sehr hilfreich wenn ihr mir anhand der o.g. Aufgabe die Begriffe Erwartungswert Varianz und Standardabweichung theoretisch erklären könntet und dann ganz ganz ausführlich den rechnerischen Lösungsweg, da ich alleine einfach nicht mehr weiter weiß! Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 13:05 Mo 01.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
erwartungswert ist der wert, den man bei einem zufallsversuch theoretisch "erwartet".
beispiel: bei 10maligem Münzwurf würde man theoretisch 5 x Zahl [bzw. 5 x Kopf] erwarten. E(x)=5
E(x)= [mm] \mu [/mm] = n*p
in deiner aufgabe ist die trefferwahrscheinlichkeit (wenn ich "verdorbenes ei" als treffer definiere) p = 3/20.
es werden n=4 eier "gezogen".
d.h. ich würde theoretisch [mm] \mu [/mm] = 4*3/20 = 12/20 = 3/5 eier erwarten.
die varianz ist nun definiert als das maß, das angibt, wie viel die einzelnen werte vom mittelwert abweichen / um den mittelwert schwanken.
die standardabweichung gibt mir an, wie viel die werte "standardmäßig" vom mittelwert abweichen / um den mittelwert schwanken. das ist die wurzel aus der varianz.
gruss
wolfgang
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| Aufgabe | E(x)= $ [mm] \mu [/mm] $ = n*p
in deiner aufgabe ist die trefferwahrscheinlichkeit (wenn ich "verdorbenes ei" als treffer definiere) p = 3/20. |
Das Ergebnis des Erwartungswertes ist richtig, jedoch hat du zur Berechnung die Formel für speziell diskrete Verteilung gewählt.
Laut meinesm Übungsbuch muss man jedoch folgende Formel verwenden:
[mm] E(X)=\mu=\summe_{i}^{}p(xi) [/mm] * xi
Mein Problem ist das ich nicht weiß wie ich mit dieser Summenformel umgehen muss!
Deine Theaoretischen Erklärungen habe ich soweit verstanden hierfür nochmal vielen Dank!
Kann mir vll noch jemand die Formeln zur Berechnung der Varianz und der Standardabweichung nennen und erläutern!
Vielen Dank!
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Hi,
also
[mm] \summe_{i=1}^{n}p(x_i) [/mm] * [mm] x_i [/mm] sagt aus das du jedes [mm] x_i [/mm] mit dem dazugehoerigen [mm] p(x_i) [/mm] mulitplizieren ,und anschliessend jedes Produkt aufsummieren musst.
Grundsätzlich steht das i=1 unter dem Sigma fuer die momentane "Laufzahl" also praktisch die Stelle die du grad bearbeiten willst.
Z.B. im obigen Beispiel kann man ja 0 1 2 oder 3 faule Eier ziehen.
da die 0 der erste Wert der Zufallsgröße X ist, wird die 0 mit i=1 gekennzeichnet (X=1 : i=2 / X=2 : i=3 / X=3 : i=4).
Das n oberhalb des Sigma Zeichens sagt wie lang du die einzelnen Produkte aufsummieren musst. D.h. i=n ist deine letzte Addition gewesen.
In diesem Fall sieht das alles so aus:
[mm] \summe_{i=1}^{n}p(x_i) [/mm] * [mm] x_i [/mm] = 0 * p(x=0) + 1 * p(x=1) + 2 * p(x=2) + 3 * p(x=3) = 0.6
Somit ist [mm] \mu [/mm] gleich 0.6
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| Aufgabe | | Wie berechne ich nun die Varianz??? |
Hallo nochaml und erst einmal Danke für eure tolle Hilfe, jedoch habe ich immer noch ein Problem bzgl. der Berechnung der Varianz.
Laut Lösungsbuch ist die Varianz(X)=0,4294
Ich hab jedoch keinen Plan wie man dies berechnet!
Ich habe zwar eine Formel gefunden: V(X)=n*p*(1-p) aber wenn ich die Formel hier benutze kommt was gänzlich anderes heraus!
Ich hoffe Ihr könnt mir nochmal helfen!?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 01.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
welche werte legst du denn zugrunde?
n=4
p=0,6
q=0,4
var = 4*0,6*0,4 = 0,96 macht finde ich, sinn.
und die standardabweichung nämlich [mm] \wurzel{var} [/mm] = 0,97 auch.
die werte schwanken dann nämlich im großen und ganzen zwischen 0 und 0,6+0,97 verdorbenen eier, bei vier ziehungen.
mehr weiss ich nicht.
gruss
wolfgang
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| Aufgabe | Unter 20 Eiern befinden sich drei verdorbene. Daraus werden vier Eier zufällig ausgewählt. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der verdorbenen Eier unter den vier ausgewählten.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung |
Hallo nochmal, also mein Problem ist das ich nicht weiß welche Werte ich zugrunde legen. Die Wahrscheinlichkeit ein Verdorbenes Ei zu ziehen beträgt ja [mm] \bruch{3}{20} [/mm] =0,15 wenn ich also X=4 annehme macht das einen Erwartungswert von 0,15*4=0,6 soweit waren wir ja schon!
In meinem Buch stehen nun allerdings zwei Formeln zur Berechnung der Varaianz. Die erste Formel ist die welche du auch verwendet hast und zwar E(X)=n*p*(p-1) dementsprechend wäre die Varianz= 0,96.
Aber mein Lösungsheft behauptet das die Varianz 0,4294 beträgt.
Um dieses Ergebnis zu erhalten muss man mit der zweiten Formel zur Vraianzberechnung arbeiten vermute ich mal. Und die lautet folgendermaßen:
[mm] o^{2}=V(X)= \summe_{k}^{}( x_{k}- \mu)^2 [/mm] * [mm] P(X=x_{k})
[/mm]
Ich hab jedoch keinen blassen Schimmer wie ich dieses Formel in meinem Fall anwenden soll!
Danke für eure Hilfe
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Tach!
Für [mm] x_{k} [/mm] setzt du die Werte ein die x annehmen kann, also 0,1,2,3,4.
Für [mm] \mu [/mm] halt den Erwartunswert von 0,6 und [mm] P(X=x_{k}) [/mm] ist die jeweilige Wahrscheinlichkeit.
Ich habe das in den Taschenrechner eingegeben:
(0-0,6)²*0,49+(1-0,6)²*0,42+(2-0,6)²*0,084+(3-0,6)²*0,0035+(4-0,6)²*0
Ich habe mit den Wahrscheinlichkeiten gerechnet, die schon oben gepostet wurden, habe sie aber ein bissl abgekürzt und wahrscheinlich falsch gerundet, da ich nicht so viel schreiben wollte.
Bei mir kam dann für [mm] o^{2}=V(X)= [/mm] 0,4284 , was ja daran liegt, dass ich die Wahrscheinlichkeiten nicht so genau genommen habe.
Sry das es nicht so schön aussieht, aber das ist mein 2. Post und ich kenn mich noch nicht so aus. Ich hoffe ich konnte dir helfen.
(sry wenn Fehler drin sein sollten)
mfg
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