Erwartungswert Rundung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 So 26.02.2012 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Der Anbieter eines Glücksspieles verliert pro Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{256}{969} [/mm] einen Betrag von 3 Euro und gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{713}{969} [/mm] einen Betrag von 2 Euro.
Er vermutet, dass er bei 500 Spielen einen Gewinn von 340 Euro erzielen kann.
Bestätige oder widerlege diese Vermutung. |
Hallo zusammen,
diese Aufgabe stammt auszugsweise aus einer Abiturprüfung.
Mir ist klar, dass ich hier den Erwartungswert des Gewinns ausrechnen muss. Ich habe hier nur folgendes Rundungsproblem:
Es gilt E(Gewinn pro Spiel) = [mm] -3*\bruch{256}{969}+2*\bruch{713}{969} [/mm] = [mm] \bruch{658}{969} \approx [/mm] 0,67905 Euro
Wenn ich nun exakt [mm] 500*\bruch{658}{969} [/mm] ausrechne, komme ich auf 339,53 Euro. Das würde bedeuten, die Vermutung wird widerlegt.
Andererseits könnte man - da die Spiele ja einzeln gespielt werden - den Erwartungswert des Gewinns pro Spiel auf 0,68 Euro runden, dann käme man exakt auf 0,68*500=340 Euro, dann wäre die Vermutung bestätigt.
Ich weiß nicht, ob hier bewusst in der Prüfung eine Falle aufgebaut werden sollte oder ob die Aufgabenstellung hier etwas unglücklich formuliert wurde.
Wie ist eure Meinung dazu ? Würdet ihr im Zweifel beides gelten lassen oder ist eine Alternative davon zwangsläufig die richtige ?
Danke im voraus für eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 So 26.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Der Anbieter eines Glücksspieles verliert pro Spiel mit
> einer Wahrscheinlichkeit von [mm]\bruch{256}{969}[/mm] einen Betrag
> von 3 Euro und gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von
> [mm]\bruch{713}{969}[/mm] einen Betrag von 2 Euro.
> Er vermutet, dass er bei 500 Spielen einen Gewinn von 340
> Euro erzielen kann.
> Bestätige oder widerlege diese Vermutung.
> Hallo zusammen,
>
> diese Aufgabe stammt auszugsweise aus einer Abiturprüfung.
> Mir ist klar, dass ich hier den Erwartungswert des Gewinns
> ausrechnen muss. Ich habe hier nur folgendes
> Rundungsproblem:
>
> Es gilt E(Gewinn pro Spiel) =
> [mm]-3*\bruch{256}{969}+2*\bruch{713}{969}[/mm] = [mm]\bruch{658}{969} \approx[/mm]
> 0,67905 Euro
>
> Wenn ich nun exakt [mm]500*\bruch{658}{969}[/mm] ausrechne, komme
> ich auf 339,53 Euro. Das würde bedeuten, die Vermutung
> wird widerlegt.
>
> Andererseits könnte man - da die Spiele ja einzeln
> gespielt werden - den Erwartungswert des Gewinns pro Spiel
> auf 0,68 Euro runden, dann käme man exakt auf 0,68*500=340
> Euro, dann wäre die Vermutung bestätigt.
>
> Ich weiß nicht, ob hier bewusst in der Prüfung eine Falle
> aufgebaut werden sollte oder ob die Aufgabenstellung hier
> etwas unglücklich formuliert wurde.
>
> Wie ist eure Meinung dazu ?
Ich bevorzuge die Rechnung ohne Rundung.
> Würdet ihr im Zweifel beides
> gelten lassen
Ja
FRED
> oder ist eine Alternative davon zwangsläufig
> die richtige ?
>
> Danke im voraus für eure Antworten.
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
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> Der Anbieter eines Glücksspieles verliert pro Spiel mit
> einer Wahrscheinlichkeit von [mm]\bruch{256}{969}[/mm] einen Betrag
> von 3 Euro und gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von
> [mm]\bruch{713}{969}[/mm] einen Betrag von 2 Euro.
> Er vermutet, dass er bei 500 Spielen einen Gewinn von 340
> Euro erzielen kann.
> Bestätige oder widerlege diese Vermutung.
> Hallo zusammen,
>
> diese Aufgabe stammt auszugsweise aus einer Abiturprüfung.
> Mir ist klar, dass ich hier den Erwartungswert des Gewinns
> ausrechnen muss. Ich habe hier nur folgendes
> Rundungsproblem:
>
> Es gilt E(Gewinn pro Spiel) =
> [mm]-3*\bruch{256}{969}+2*\bruch{713}{969}[/mm] = [mm]\bruch{658}{969} \approx[/mm]
> 0,67905 Euro
>
> Wenn ich nun exakt [mm]500*\bruch{658}{969}[/mm] ausrechne, komme
> ich auf 339,53 Euro. Das würde bedeuten, die Vermutung
> wird widerlegt.
>
> Andererseits könnte man - da die Spiele ja einzeln
> gespielt werden - den Erwartungswert des Gewinns pro Spiel
> auf 0,68 Euro runden, dann käme man exakt auf 0,68*500=340
> Euro, dann wäre die Vermutung bestätigt.
>
> Ich weiß nicht, ob hier bewusst in der Prüfung eine Falle
> aufgebaut werden sollte oder ob die Aufgabenstellung hier
> etwas unglücklich formuliert wurde.
>
> Wie ist eure Meinung dazu ? Würdet ihr im Zweifel beides
> gelten lassen oder ist eine Alternative davon zwangsläufig
> die richtige ?
>
> Danke im voraus für eure Antworten.
>
> Viele Grüße
> Rubi
Hallo Rubi,
wenn die Rechnung zeigt, dass der Erwartungswert des
Gewinns bei insgesamt 500 Spielen so dicht bei 340€ liegt,
bedeutet dies doch eben, dass die Vermutung richtig war:
man darf annehmen, dass der Gewinn so etwa in der Gegend
von 340€ liegen wird. Im Einzelfall könnten aber auch einmal
360€ herausspringen oder in einem anderen Fall nur 323€ .
Die Antwort ist also: er könnte durchaus (exakt) 340€ erzielen,
aber wahrscheinlich entweder etwas weniger oder etwas mehr.
LG Al-Chw.
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Hallo rubi,
für mich ist die Aufgabe sowieso etwas problematisch gestellt.
Gerade im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung, denn:
Die Frage, ob er nach 500 Spielen einen Gewinn von 340€ erzielen kann, hängt eben davon ab, ob es eine Gewinn-Verlust-Kombination mit positiver Wahrscheinlichkeit gibt, so dass er auf 340€ kommt, unabhängig vom Erwartungswert!
Also selbst wenn der Erwartungswert bei 1 liegt, kann es eben trotzdem sein, dass er diesen Gewinn erreichen kann.
Einen Gewinn von 1000 € nach 500 Spielen kann er eben auch erreichen, 1001€ aber bspw. nicht mehr.
Insofern könnte man die Frage eben auch so verstehen, ob es natürliche Zahlen $k,l [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, so dass folgendes gilt:
$2*k - 3*l = 340$
$k+l = 500$
Das lässt sich nun durch einfaches Umstellen eindeutig lösen und liefert dir dann halt:
$2*k - 3*(500-k) = 340 [mm] \gdw [/mm] k=368$
$l = 500-k [mm] \gdw [/mm] l=132$
Ergo: Es gibt eine Gewinn-Verlust-Kombination(368:132), die auch mit positiver Wahrscheinlichkeit eintritt, so dass er exakt 340€ Gewinn macht.
Wäre in der Fragestellung bspw. ein Gewinn von 341€ erwartet, wäre die Antwort "nein, er kann eben nicht 341€ Gewinn nach 500 Spielen machen".
Und zu dem Thema ganz allgemein noch einen Hinweis: Ich würde, wenn du 2 Möglichkeiten erkennst, einfach immer beide hinschreiben. Das zeigt, dass du das Problem in seiner Gänze verstanden hast und nur an einer ungenauen Formulierung gescheitert bist 
Und darauf kommts im Abitur schließlich an.
MFG,
Gono.
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