Erwartungswert/Dichtefunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 22.01.2008 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich hab leider ein riesiges Problem mit dieser Aufgabe:
Auf der Kreisfläche K={ [mm] (x,y)\in\IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2}+y^{2}\le1 [/mm] } liege das durch die Gleichverteilung gegebene Wahrscheinlichkeitsmaß zugrunde. Berechne den Erwartungswert des Abstandes eines in K zufällig gewählten Punktes a vom Rand von K.
Also bisher habe ich folgendes:
Sei f die Dichte zur Gleichverteilung: [mm] \pi*f(a)=\begin{cases}1,&\mbox{}|a|\le1\\0,&\mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
[mm] (\integral_{\IR^{2}}^{}{f(a)da}=\integral_{K}^{}{1da}=\pi)
[/mm]
und ich glaube die Formel für den Abstand vom Rand ist [mm] d(a)=|a-\bruch{a}{|a|}| [/mm] mit [mm] a\in [/mm] K, da bin ich mir aber überhaupt nicht sicher...
und ich weis jetzt auch nicht so recht wie ich weitermachen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Di 22.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin bobby,
vielleicht hilft dir die Diekussion hier auf die Spruenge.
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:30 Di 22.01.2008 | | Autor: | bobby |
also ehrlich gesagt, bringt mich das grad noch nicht weiter, hab versucht mir das bildlich klar zu machen aber ich komm mit r und R ncht klar, dachte r<R, aber wieso dann [mm] P(R\le [/mm] r)? und so richtig seh ich da noch keinen zusammenhang zu meinem abstandsproblem, dort ging es ja nur um die kreise an sich...?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:11 Di 22.01.2008 | | Autor: | bobby |
hab nochmal etwas rumgerechnet...kann es sein, das die wahrscheinlichkeitsdichte hier f(a)=2a ist?
dann wären der erwartungswert [mm] E(a)=\integral_{0}^{1}{a*f(a)da} =\integral_{0}^{1}{a*2ada}=\bruch{2}{3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 24.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 24.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Wenn wir uns mal die Aufgabe anschauen, stellen wir fest, dass es auf den Winkel nicht ankommt, sondern nur auf den Radius [mm]r=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]. Was wir suchen ist 1 - E(r), also müssen wir E(r) bestimmen. Das könnten wir jetzt recht mühsam über ein Doppelintegral tun, wir können uns aber auch überlegen, dass jedes r genau mit dem "Gewicht" des zugehörigen Kreisesumfangs [mm]\bruch{(2\pi r)}{\pi}=2r[/mm] in den Kreis eingeht. Also wäre
[mm]E(r)= \integral_{0}^{1}{2r \cdot r dr} = \bruch{2}{3}[/mm]
Als ist der gesuchte Wert [mm]\bruch{1}{3}[/mm].
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