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Erwartungswert - Zeilenmaximum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Fr 02.08.2013
Autor: k0ol

Hallo zusammen,

seien [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] zwei Zufallszahlen aus der selben Verteilung, sagen wir Standardnormalverteilung, also [mm] $E[x_1]=E[x_2 [/mm] ]=0$. Außerdem sei [mm] $x_3=max\{x_1, x_2\}$. [/mm] Was ist der Erwartungswert von [mm] x_3? [/mm]

Ich habe das Ganze mal mit Stata simuliert. Bei der Standardnormalverteilung ist [mm] $E[x_3]\approx [/mm] 0.56$, wenn ich stattdessen sage [mm] $x_1,x_2\sim [/mm] N(0,2)$ kriege ich [mm] $E[x_3]\approx [/mm] 1.12$. Der Erwartungswert von [mm] $x_3$ [/mm] scheint also linear in der Standardabweichung der angenommenen Verteilung zu sein.

Ich würde diese Ergebnisse gerne theoretisch nachvollziehen, habe aber ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich dabei vorgehen muss. Kann mir jemand von Euch bitte helfen?

Danke und Gruß
k0ol

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Erwartungswert - Zeilenmaximum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Fr 02.08.2013
Autor: Leopold_Gast

Es seien [mm]\varphi(t),\Phi(t)[/mm] Dichte und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Vermutlich sollen [mm]X_1,X_2[/mm] unabhängig voneinander sein.

[mm]Y=\max \left\{ X_1,X_2 \right\}[/mm] ist genau dann kleiner oder gleich [mm]t[/mm], wenn beide Größen zugleich kleiner oder gleich [mm]t[/mm] sind. Als Verteilungsfunktion von [mm]Y[/mm] bekommt man damit:

[mm]F(t) = P \left( Y \leq t \right) = P \left( X_1 \leq t \, , \, X_2 \leq t \right) = P \left( X_1 \leq t \right) \cdot P \left( X_2 \leq t \right) = \left( \Phi(t) \right)^2[/mm]

Und die Dichte von [mm]Y[/mm] ist

[mm]f(t) = 2 \, \varphi(t) \, \Phi(t)[/mm]

Für den Erwartungswert von [mm]Y[/mm] gilt somit:

[mm]\mathcal{E}(Y) = \int_{- \infty}^{\infty} 2 t \, \varphi(t) \, \Phi(t) ~ \mathrm{d}t = \int_{- \infty}^{\infty} -2 \varphi'(t) \Phi(t) ~ \mathrm{d}t = \int_{- \infty}^{\infty} 2 \left( \varphi(t) \right)^2 ~ \mathrm{d}t = \frac{1}{\sqrt{\pi}}[/mm]

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert - Zeilenmaximum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Fr 02.08.2013
Autor: k0ol

Das ging ja schnell. Super! Vielen Dank.

Bezug
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