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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 02.07.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe HelferINNEN!
Würde gerne die Dichte der Zufallsvariablen X berechnen:
[mm] X=e^Y, [/mm] wobei Y eine standardnormalverteilte ZV sein soll.
Denn letztlich soll ich die Varianz von X berechnen und ich muss ja dafür erstmal den Erwartungswert wissen, der ist ja
[mm] E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot [/mm] f(X) dx und daher muss ich erstmal die Dichte wissen. |
Mein Ansatz ist dieser:
[mm] P(X\leq x)=P(e^Y\leq x)=P(Y\leq ln(x))=F_{Y}(ln(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{ln(x)}e^{-\frac{1}{2}z^2}dz
[/mm]
Hier weiß ich jetzt nicht weiter!
Wie komm ich jetzt auf die Dichte von X?
Bitte helft mir! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Sa 02.07.2011 | | Autor: | luis52 |
> Wie komm ich jetzt auf die Dichte von X?
>
Moin,
ich bin zwar keine HelferINNE, habe aber einen Tipp parat: Bezeichnet [mm] $\Phi$
[/mm]
die Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung, so ist
[mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\ln(x)}e^{-\frac{1}{2}z^2}dz=\Phi(\ln(x))$.
[/mm]
Klingelts?
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Sa 02.07.2011 | | Autor: | luis52 |
> Würde gerne die Dichte der Zufallsvariablen X berechnen:
>
> [mm]X=e^Y,[/mm] wobei Y eine standardnormalverteilte ZV sein soll.
Du brauchst nicht unbedingt die Dichte von $X_$ zu kennen. Eine alte
Bauernregel besagt naemlich
[mm] $\text{Var}[X]=\text{E}[X^2]-\text{E}[X]^2$.
[/mm]
So ist beispielsweise
[mm] $\text{E}[X^2]=\text{E}[e^{2Y}]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{2z}e^{-\frac{1}{2}z^2}dz$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Sa 02.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Habe jetzt mittlerweile heraus, dass die Dichte von X
[mm]\frac{1}{x}f_{Y}(\ln(x))1_{(0,\infty)}(x)[/mm] ist.
[Das habe ich mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ermitteln können.]
So, nun müsste ich den Erwartungswert ja bestimmen können, nämlich:
[mm]E(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}x\cdot \frac{1}{x}e^{-\frac{1}{2}(\ln(x))^2 dx [/mm]
Ich müsste also jetzt irgendwie ´
[mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{(\ln(x))^2}{2} dx [/mm]
berechnen.
Komme aber nicht drauf, wie ich dieses Integral berechnen kann! Ich habe zwar im Internet mehrfach gelesen, dass man [mm]t=\ln(x)[/mm] substituieren und im Exponenten quadratisch ergänzen muss. Aber ich werde daraus nicht schlau.
Vielleicht kann mir jemand das erklären oder erläutern?
Ich weiß nur, dass am Ende herauskommen muss:
[mm]E(X)=e^{\frac{1}{2}}[/mm].
Dankeschön für Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:11 So 03.07.2011 | | Autor: | dennis2 |
Hey, mikexx!
Ich stehe genau vor dem gleichen Problem!
Weiß auch nicht, wie man das Integral berechnet.
Bin auch dankbar, wenn jemand das mit dem Substituieren und der quadr. Ergänzung erklären könnte! Blicke da nämlich auch nicht durch.
Es läuft irgendwie daraus hinaus, dass man
[mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}}\sqrt{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2} dt[/mm]
erhält und dieses Integral ist [mm]\sqrt{\pi}[/mm], sodass sich alles wegkürzt und nur [mm]e^{\frac{1}{2}}[/mm] übrig bleibt.
Aber - wie gesagt - den konkreten Rechenweg dahin weiß ich auch nicht und wüsste ihn sehr gerne.
Dennis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 So 03.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
wieso substituierst Du nicht erstmal, wie Du's vorschlägst, und dann schauen wir weiter.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 So 03.07.2011 | | Autor: | mikexx |
In Ordnung.
Ich versuch es mal!
[mm] t=\ln(x)\Leftrightarrow dx=x\cdot [/mm] dt
Mit den Integralgrenzen weiß ich nicht so genau. Die müssten jetzt [mm] -\infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] sein.
Und ich komm dann auf
[mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot x\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}} [/mm] dt
Okay??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 So 03.07.2011 | | Autor: | Blech |
> $ [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot x\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}\ [/mm] dt $
AAAAAAAAAAAAAAhhhhhhhh, Du hast hier nicht gerade ernsthaft x aus dem Integral rausgezogen?!
[mm] $\int [/mm] f(x)\ dx = f(x)\ [mm] \int [/mm] dx = x*f(x)$
Stört Dich an dieser Rechnung irgendwas? =)
Ich schieb's einfach mal auf die fortgeschrittene Stunde. Du bist weiß Gott nicht der erste, der um Mitternacht völlig neue mathematische Erkenntnisse entdeckt hat. Ich hatte sogar mal ne Liste mit meinen "besten" Ergüssen.
Nacht
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 So 03.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Oh.
Also dann das Ganze mit dem x IM Integral.
Weiß trotzdem nicht, wie es jetzt weiter gehr ;(
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 So 03.07.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo mikexx,
das x gehört definitiv unter das Integral, dann muss es aber auch substituiert werden und so entsteht
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{- \bruch{t^2}{2}} \cdot e^t \, dt [/mm]
VG,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 So 03.07.2011 | | Autor: | mikexx |
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{- \bruch{t^2}{2}} \cdot e^t \, dt[/mm]
Danke!
Als Integranden hat man also [mm]e^{-\frac{t^2}{2}+t}[/mm].
Und den Exponenten [mm]-\frac{1}{2}t^2+t [/mm] soll man nun quadratisch ergänzen, also [mm]t^2-2t+1[/mm]??
Inwiefern bringt einen das denn weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 So 03.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Die korrekte quadr. Ergänzung ist natürlich
[mm]-\frac{1}{2}(t-1)^2+\frac{1}{2}[/mm].
Damit stehe ich jetzt bei
[mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(t-1)^2 dt [/mm].
Wie gehts weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 03.07.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> Damit stehe ich jetzt bei
>
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(t-1)^2 dt [/mm].
>
> Wie gehts weiter?
[mm]=e^{\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(t-1)^2 dt [/mm].
Der Integrand ist die Dichte einer Normalverteilung ...
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 03.07.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe ja, wie gesagt, auch diese Aufgabe zu lösen.
Ich habe nun eine weitere Substitution vorgenommen:
[mm]z=\frac{(t-1)}{\sqrt{2}}[/mm]
Dann kommt man auf die gewünschte Form und das Egebnis
[mm]E(X)=e^{\frac{1}{2}}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 03.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Ah! Das ist nen guter Tipp!
Dann hat man ja
[mm] dt=\sqrt{2}dz,
[/mm]
kann die Wurzel vors Integral ziehen und das Integral ist [mm] \sqrt{\pi}, [/mm] übrig ist nur noch [mm] e^{1/2}.
[/mm]
Thank you! (Auch allen anderen Helfern!!)
Die Varianz bekomm ich jetzt selbst hin per
[mm] E(X^2)-(E(X))^2.
[/mm]
E(X) kann ich ja nun einfach einsetzen und für [mm] E(X^2) [/mm] mach ich das ganze Prozedere analog.
Müsste ich hinbekommen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 So 03.07.2011 | | Autor: | dennis2 |
Genau richtig, so hab ichs auch gemacht!
[mm]E(X)=e^{\frac{1}{2}}[/mm]
und die Varianz (so viel sei verraten ) ist
[mm]e^2-e[/mm].
Kommt man wirklich sehr analog drauf.
Kannste mal abgleichen mit Wiki (logarithmische Normalverteilung) und dann siehst Du, dass es stimmt :D
Viel Erfolg noch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 So 03.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Uebrigens: $X_$ ist lognormalverteilt. Vielleicht hilft das bei einer Suche im Internet.
vg Luis
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