Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Di 04.11.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | [mm] (X_{i}) [/mm] Familie von ZV mit
[mm] E(sup_{i \in I}|X_{i}|)<\infty [/mm] |
Kann ich das folgern:
[mm] E(sup_{i \in I}|X_{i}|)<\infty \Rightarrow sup_{i \in I}|X_{i}|<\infty [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Di 04.11.2008 | | Autor: | dormant |
Hallo
> [mm](X_{i})[/mm] Familie von ZV mit
> [mm]E(sup_{i \in I}|X_{i}|)<\infty[/mm]
> Kann ich das folgern:
> [mm]E(sup_{i \in I}|X_{i}|)<\infty \Rightarrow sup_{i \in I}|X_{i}|<\infty[/mm]
> ?
Nein, wenn [mm] X_{i}(\omega)=\infty [/mm] für [mm] \omega\in N\subset\Omega [/mm] mit N P-Nullmenge. Auf der Nullmenge wird für die Erwartung eben das Gewicht 0 eingesetzt.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 04.11.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | [mm] (X_{i}) [/mm] Familie von ZV mit
[mm] E(sup_{i \in I}|X_{i}|)<\infty [/mm] |
Wie kann ich dann daraus folgern, dass
die [mm] X_{i} [/mm] gleichgradig integrierbar sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 04.11.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> [mm](X_{i})[/mm] Familie von ZV mit
> [mm]E(sup_{i \in I}|X_{i}|)<\infty[/mm]
> Wie kann ich dann daraus folgern, dass
> die [mm]X_{i}[/mm] gleichgradig integrierbar sind?
Naja, das kommt direkt aus der Definition von sup und gleichgradig integriebar durch vertauschen von sup und E raus.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Di 04.11.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | gleichgradig integrierbar heißt bei uns:
[mm] inf_{K} sup_{i \in I} E(|X_{i}|; |X_{i}|> [/mm] K ) = 0 |
Also kann ich einfach [mm] sup_{i \in I} E(|X_{i}|) \le E(sup_{i \in I}|X_{i}|) [/mm] folgern und damit ist das gezeigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Di 04.11.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Also kann ich einfach [mm]sup_{i \in I} E(|X_{i}|) \le E(sup_{i \in I}|X_{i}|)[/mm]
> folgern und damit ist das gezeigt?
Es gilt genau das Gegenteil: [mm] sup_{i \in I} E(|X_{i}|) \ge E(sup_{i \in I}|X_{i}|)
[/mm]
Überleg dir, dass mit steigendem K die Erwartung [mm] E(|X_{i}| [/mm] ; [mm] |X_{i}|>K) [/mm] verschwinden muss (das K wächst ins Unendliche, die Erwartung ist aber endlich, also muss die Gewichtung (also die Wahrscheinleichkeit, dass [mm] |X_{i}|>K [/mm] ab einem K gleich Null sein. Ansonsten Widerspruch).
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Di 04.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Warum ist die Erwartung [mm] E(|X_{i}|; |X_{i}|> [/mm] K) endlich?
So ganz verstehe ich das noch nicht.
Danke schonmal!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Di 04.11.2008 | | Autor: | dormant |
> Warum ist die Erwartung [mm]E(|X_{i}|; |X_{i}|>[/mm] K) endlich?
Weil das Supremum der ERWARTUNG über alle i und über alle [mm] \omega, [/mm] insbesondere auch für die [mm] \omega, [/mm] für welche [mm] |X_{i}|>K [/mm] endlich ist.
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Di 04.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Tut mir leid dass ich das immer noch nicht verstehe. Danke für deine Mühe.
Wieso ist das sup über die Erwatung endlich?
War nicht die Erwartung vom Supremum nach Vor. endlich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Di 04.11.2008 | | Autor: | dormant |
Zur Abkürzung sei [mm] Zi:=|X_{i}|
[/mm]
Es ist [mm] \infty>E(sup(Zi))\ge [/mm] E(sup(Zi ; [mm] Zi>K))\ge [/mm] E(Zi ; Zi>K).
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Di 04.11.2008 | | Autor: | Zorba |
<< Es ist [mm] \infty>E(sup(Zi))\ge [/mm] E(sup(Zi ; [mm] Zi>K))\ge [/mm] E(Zi ; Zi>K).
Ok das hab ich verstanden, und damit gilt also sup E(Zi ; Zi>K) < [mm] \infty [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Di 04.11.2008 | | Autor: | dormant |
> << Es ist [mm]\infty>E(sup(Zi))\ge[/mm] E(sup(Zi ; [mm]Zi>K))\ge[/mm] E(Zi ;
> Zi>K).
>
> Ok das hab ich verstanden, und damit gilt also sup E(Zi ;
> Zi>K) < [mm]\infty[/mm] ?
EDIT: Wenn man's eben von links nach rechts liest, kommt's raus. : <- falsch!
Wenn man's eben von RECHTS nach LINKS liest, ist das die gewünschte Aussage. (Sorry!)
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Di 04.11.2008 | | Autor: | Zorba |
[mm] \infty [/mm] > E(Zi ;Zi>K).
Also daraus folgt [mm] \infty [/mm] > sup E(Zi ;Zi>K) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mi 05.11.2008 | | Autor: | dormant |
> [mm]\infty[/mm] > E(Zi ;Zi>K).
>
> Also daraus folgt [mm]\infty[/mm] > sup E(Zi ;Zi>K) ?
Andersrum. Das Supremum ist eben das GRÖSSTE. Wichtig ist eben [mm] \infty>E(Zi [/mm] ; [mm] Zi>K)\gdw [/mm] E(Zi ; [mm] Zi>K)<\infty, [/mm] also endliche Erwartung.
Ich würde dir empfehlen, dass du in deinem nächsten Post alles, was wir bis jetzt diskutiert haben, zusammenfasst.
dormant
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