Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Do 20.01.2005 | | Autor: | xsjani |
Hallo,
wir haben mal wieder eine Aufgabe bekommen. Ich habe jedoch keine Ahnung wie diese zu bearbeiten ist. Vielleicht kann mir da jemand helfen?
Zu betrachten ist die Einheitskreisfläche
K:= [mm] {(x,y)\in \IR²:x²+y²\le1} [/mm]
mit dem durch die Gleichverteilung gegebenen Wahrscheinlichkeitsmaß. Zu berechnen ist nun der Erwartungswert des Abstandes eines in K zufällig gewählten Punktes vom Rand von K.
Da ich nur Mathe als Nebefach habe, ist diese Aufgabe eingfach zu "hoch" für mich und ich brauche mal wieder Hilfe.
Danke!!
Jani
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jani!
Der (zufällige) Abstand eines Punktes $(X,Y) [mm] \in [/mm] K$ ist offenbar gegeben durch
$dist((X,Y);K) = 1 - [mm] \sqrt{X^2 + Y^2}$.
[/mm]
(Denn der Abstand zum Nullpunkt ist ja [mm] $\sqrt{X^2+Y^2}$ [/mm] und summiert sich zusammen mit dem Abstand zum Rand zu $1$ auf.)
Du musst also einfach (mit Hilfe der Umrechnung in Polarkoordinaten)
$E[dist((X,Y);K) ]= [mm] \frac{1}{\pi} \int\limits_k [/mm] ( [mm] 1-\sqrt{x^2+y^2})\, [/mm] d(x,y) = [mm] \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^1 (1-r)r\, drd\varphi$
[/mm]
berechnen, also das Integral
[mm] $\frac{1}{\pi} \cdot 2\pi \cdot \int\limits_0^1 (r-r^2)\, [/mm] dr$
berechnen.
Schaffst du den Rest alleine? 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Mo 24.01.2005 | | Autor: | xsjani |
Hallo Julius,
vielen Dank für die Hilfe.Den Rest schaffe ich!
Lieben Gruss Jani
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