Erwartungstreuer Schätzer ML < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Fr 13.02.2009 | | Autor: | oLman |
| Aufgabe | Aufgabe 1:
Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
[mm] f(x)=\begin{cases} \theta * x^{\theta-1}, & \mbox{für } 0
mit einem unbekannten Parameter [mm] \theta [/mm] > 0 . Die Zufallsvariablen X1 ,... , Xn seien
unabhängig und identisch verteilt wie X.
a) Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel
Tn(X1,..,Xn) = 1 / n (X1+..+Xn) ein erwartungstreuer Schätzer für [mm] \tau (\theta) [/mm] = [mm] \bruch{\theta}{1+\theta}
[/mm]
b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für
[mm] \tau (\theta) [/mm] = [mm] \theta
[/mm]
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Leider haben wir zu oben genannter Aufgabe keine Lösung, hier mein Ansatz:
1.
a.) [mm] E\theta [/mm] (Tn(X1,..,Xn)) = [mm] E\theta [/mm] (1/n (X1+..+Xn))
= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] (( [mm] E\theta(X1)+...+E\theta(Xn))
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * n * [mm] \bruch{\theta}{1+\theta}
[/mm]
= [mm] \bruch{\theta}{1+\theta}
[/mm]
Ist das korrekt??
Zu
b.)
Bin mir da unsicher welches Verfahren ich bei der Maximum Likehihood anwenden soll, logarithmieren oder nach [mm] \theta [/mm] differenzieren... was schlagt ihr vor?
lg
olman
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Fr 13.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> 1.
> a.) [mm]E\theta[/mm] (Tn(X1,..,Xn)) = [mm]E\theta[/mm] (1/n (X1+..+Xn))
>
> = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] (( [mm]E\theta(X1)+...+E\theta(Xn))[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * n * [mm]\bruch{\theta}{1+\theta}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\theta}{1+\theta}[/mm]
>
> Ist das korrekt??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu
>
> b.)
>
> Bin mir da unsicher welches Verfahren ich bei der Maximum
> Likehihood anwenden soll, logarithmieren oder nach [mm]\theta[/mm]
> differenzieren... was schlagt ihr vor?
abe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
Das ist kein Gegensatz. Hast du die Likelihoodfunktion schon ermittelt?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Fr 13.02.2009 | | Autor: | oLman |
Ja habe ich, aber ich weiß nicht wie ich weiter verfahren soll...
[mm] f(x1,..xn;\theta)=\produkt_{i=1}^{n} f(xi)=\begin{cases} \produkt_{i=1}^{n} \theta * xi^{\theta-1}, & \mbox{für } 0
Was soll ich jetzt machen? Ich kann das [mm] \theta [/mm] noch aus dem Produkt rausziehen, aber dann wende ich entweder ln an um aus dem Produktzeichen ein Summenzeichen zu machen oder ich differenziere nach [mm] \theta [/mm] ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Fr 13.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ja habe ich, aber ich weiß nicht wie ich weiter verfahren
> soll...
>
> [mm]f(x1,..xn;\theta)=\produkt_{i=1}^{n} f(xi)=\begin{cases} \produkt_{i=1}^{n} \theta * xi^{\theta-1}, & \mbox{für } 0
Das muss man genauer aufschreiben. Fuer *gegebene* Werte [mm] $x_1,\dots,x_n$ [/mm] ist [mm] $L:\IR^+\to\IR$ [/mm] gegeben durch
[mm] $L(\theta)=\theta^n(\prod x_i)^{\theta-1}$.
[/mm]
>
> Was soll ich jetzt machen?
Du sollst das maximierende [mm] $\theta$ [/mm] bestimmen.
> aber dann wende ich entweder ln an
> um aus dem Produktzeichen ein Summenzeichen zu machen oder
> ich differenziere nach [mm]\theta[/mm] ?!
Nicht entweder--oder. Du kannst L selbst maximieren. Es ist aber einfacher, [mm] $\ln [/mm] L$ zu maximieren, denn maximiert [mm] $\theta$ [/mm] die Funktion L, so auch [mm] $\ln [/mm] L$ und umgekehrt. Das hat aber den Vorteil, dass du vielfach Produkte durch Summen ersetzt, die i.a. einfacher zu differenzieren sind als Produkte.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Fr 13.02.2009 | | Autor: | oLman |
Hm mich stört aber irgendwie noch das x beim logarithmieren, wenn ich [mm] e^{x+\theta} [/mm] hätte wäre es ja kein problem weil sich ln e = 1 ergibt.
aber so hätte ich dann ja:
ln [mm] L(\theta) [/mm] = [mm] \theta^{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ln [mm] x^{\theta-1}
[/mm]
dass kann ich ja dann nicht direkt lösen, oder kann ich ln x einfach stehen lassen?, also in der Form.
ln [mm] L(\theta) [/mm] = [mm] \theta^{n} [/mm] * ( n * [mm] (\theta-1) [/mm] + (ln x) * n )
Dann würde eine Begründung über die Monotonie folgen, also da die Log-Likelihoodfunktion monoton wachsend ist, ist Tn(X1,..,Xn) = min(X1,..Xn) der ML-Schätzer für [mm] \tau(\theta) [/mm] = [mm] \theta
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Fr 13.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hm mich stört aber irgendwie noch das x beim
> logarithmieren, wenn ich [mm]e^{x+\theta}[/mm] hätte wäre es ja kein
> problem weil sich ln e = 1 ergibt.
>
> aber so hätte ich dann ja:
>
> ln [mm]L(\theta)[/mm] = [mm]\theta^{n}[/mm] * [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ln
> [mm]x^{\theta-1}[/mm]
>
Du bist anscheinend nicht sehr sattelfest, was das Logarithmieren anbelangt. *Ich* errechne:
[mm] $\ln L=n\ln\theta+(\theta-1)\ln\prod x_i=n\ln\theta+(\theta-1)\sum \ln x_i$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Fr 13.02.2009 | | Autor: | oLman |
Ja bin ich wirklich nicht :)
Aber habs jetzt denke ich verstanden..
[mm] \ln\theta+(\theta-1)\sum \ln x_i [/mm] $
Nach der logarithmierung kann ich aber wie oben erwähnt über monotonie vorgehen? oder habe ich einen zwischenschritt vergessen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Fr 13.02.2009 | | Autor: | oLman |
Tut mir leid hab mich verschrieben..
Also ich habe dann
ln [mm] f\theta(n) [/mm] = n * [mm] \ln\theta+(\theta-1)\sum \ln x_i [/mm]
kann ich dann über monotonie argumentieren oder fehlt noch ein schritt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Sa 14.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Ein Zwischenfazit: Es gilt
$ [mm] \ln L=n\ln\theta+(\theta-1)\sum \ln x_i [/mm] $
bzgl [mm] $\theta$ [/mm] zu maximieren.
Wie kann man denn so etwas machen?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Sa 14.02.2009 | | Autor: | oLman |
Hm vermutlich durch Ableitung...
Eine Frage:
Kann ich [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ln xi ersetzen durch n * ln [mm] \overline{x} [/mm] ?
Wenn ja hätte ich dann
[mm] L(\theta) [/mm] = n * ln [mm] \theta [/mm] * [mm] (\theta-1) [/mm] *n * ln [mm] \overline{x}
[/mm]
[mm] L'(\theta) [/mm] = [mm] \bruch{n}{\theta} [/mm] * 1 * n * ln [mm] \overline{x}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:40 Sa 14.02.2009 | | Autor: | oLman |
Das erste * ist natürlich mit nem + zu ersetzen sry..
Also
[mm] L'(\theta) [/mm] = [mm] \bruch{n}{\theta}+1 [/mm] * n * ln [mm] \overline{x}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Sa 14.02.2009 | | Autor: | oLman |
Bin glaub ich nochmal en Schritt weitergekommen, um [mm] \theta [/mm] zu maximieren setze ich [mm] L'(\theta) [/mm] = 0
0 = [mm] \bruch{n}{\theta} [/mm] + n * ln [mm] \overline{x}
[/mm]
[mm] \bruch{n}{\theta} [/mm] = - n * ln [mm] \overline{x}
[/mm]
- [mm] \theta [/mm] = ln [mm] \overline{x}
[/mm]
[mm] \theta [/mm] = - ln [mm] \overline{x}
[/mm]
Also wäre - ln [mm] (\overline{x} [/mm] ein geeigneter ML Schätzer?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Sa 14.02.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Also wäre - ln [mm](\overline{x}[/mm] ein geeigneter ML Schätzer?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Deine Konstante ist nicht [mm] $\ln \bar x=\ln(\sum x_i/n)$ [/mm] sondern [mm] $\sum \ln(x_i)/n$, [/mm] was du vielleicht mit [mm] $\overline{\ln x}$ [/mm] abkuerzen kannst. (ist nicht dasselbe!)
Also: [mm] $L(\theta)=n\ln\theta+n(\theta-1)\overline{\ln x}$, $L'(\theta)=n/\theta+n\overline{\ln x}$, $L''(\theta)=-n/\theta^2$ [/mm] (kann nichts schaden sich vergewissern, dass ein Maximum vorliegt). Aus [mm] $L'(\hat\theta)=0$ [/mm] folgt [mm] $\hat\theta=-1/\overline{\ln x}$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 15.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> >
> > Also wäre - ln [mm](\overline{x}[/mm] ein geeigneter ML Schätzer?
>
>
>
> Deine Konstante ist nicht [mm]\ln \bar x=\ln(\sum x_i/n)[/mm]
> sondern [mm]\sum \ln(x_i)/n[/mm], was du vielleicht mit
> [mm]\overline{\ln x}[/mm] abkuerzen kannst. (ist nicht dasselbe!)
>
> Also: [mm]L(\theta)=n\ln\theta+n(\theta-1)\overline{\ln x}[/mm],
Wo kommt denn hier der Faktor n vor [mm] (\theta-1) [/mm] her?
Für den Fall, dass hier das n falsch wäre, liefert das hinreichende Kriterium dann
[mm] \bruch{d^{2}}{d\theta}=-n\bruch{1}{\theta^{2}}=0 [/mm]
Was erkenne ich dann daraus? Gibt es dann überhaupt einen Extremwert?
> [mm]L'(\theta)=n/\theta+n\overline{\ln x}[/mm],
> [mm]L''(\theta)=-n/\theta^2[/mm] (kann nichts schaden sich
> vergewissern, dass ein Maximum vorliegt). Aus
> [mm]L'(\hat\theta)=0[/mm] folgt [mm]\hat\theta=-1/\overline{\ln x}[/mm].
>
> vg Luis
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 15.02.2009 | | Autor: | oLman |
> Wo kommt denn hier der Faktor n vor [mm](\theta-1)[/mm] her?
Weil ich [mm] \summe_{i=1}^{n} \overline{ln x} [/mm] auflöse in n * [mm] \overline{ln x}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 15.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Wo kommt denn hier der Faktor n vor [mm](\theta-1)[/mm] her?
>
> Weil ich [mm]\summe_{i=1}^{n} \overline{ln x}[/mm] auflöse in n *
> [mm]\overline{ln x}[/mm]
Was soll denn
[mm] \overline{ln x}
[/mm]
sein? Ein arithmetischer Mittelwert? Was hat man davon, wenn man das Summenzeichen so auflöst?
Wie sieht es denn nun mit dem Extremwert aus?
Das hinreichende Kriterium der zweiten Ableitung zeigt mir
[mm] \bruch{d^{2}}{d\theta}ln(L(\theta))=-n\bruch{1}{\theta^{2}}=
[/mm]
[mm] \gdw -\theta^{2}*\bruch{1}{n}=0
[/mm]
[mm] \gdw \theta=0
[/mm]
Was kann ich nun daraus für einen Extremwert ablesen?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Mo 16.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> > > Wo kommt denn hier der Faktor n vor [mm](\theta-1)[/mm] her?
> >
> > Weil ich [mm]\summe_{i=1}^{n} \overline{ln x}[/mm] auflöse in n *
> > [mm]\overline{ln x}[/mm]
>
>
> Was soll denn
>
>
> [mm]\overline{ln x}[/mm]
>
>
>
> sein? Ein arithmetischer Mittelwert? Was hat man davon,
> wenn man das Summenzeichen so auflöst?
Bitte lies dir den Thread aufmerksam durch.
>
>
>
> Wie sieht es denn nun mit dem Extremwert aus?
>
>
> Das hinreichende Kriterium der zweiten Ableitung zeigt mir
>
>
> [mm]\bruch{d^{2}}{d\theta}ln(L(\theta))=-n\bruch{1}{\theta^{2}}=[/mm]
>
> [mm]\gdw -\theta^{2}*\bruch{1}{n}=0[/mm]
>
> [mm]\gdw \theta=0[/mm]
> Was kann ich nun daraus für einen Extremwert ablesen?
Dir scheint nicht klar zu sein, wie man Extrema mittels Differentialrechnung
ermittelt... Gehe zurueck auf Los.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Mo 16.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Entschuldige bitte, da habe ich wohl das hinreichende Kriterium der Extremstellen versehentlich mit dem notwendigen der Wendepunkte verwechselt. Die zweite Ableitung wird natürlich nicht 0 gesetzt, so dass ich mit
[mm] \bruch{d^{2}}{d\theta}=\bruch{-n}{\theta^{2}}, [/mm] mit [mm] \theta>0 [/mm] und [mm] n\in\IN.
[/mm]
ein Maximum erhalte.
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mo 16.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> Entschuldige bitte, da habe ich wohl das hinreichende
> Kriterium der Extremstellen versehentlich mit dem
> notwendigen der Wendepunkte verwechselt. Die zweite
> Ableitung wird natürlich nicht 0 gesetzt, so dass ich mit
>
>
> [mm]\bruch{d^{2}}{d\theta}=\bruch{-n}{\theta^{2}},[/mm] mit [mm]\theta>0[/mm]
> und [mm]n\in\IN.[/mm]
>
>
> ein Maximum erhalte.
Brav! 
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Blech |
> Ja bin ich wirklich nicht :)
>
> Aber habs jetzt denke ich verstanden..
>
> [mm]\ln\theta+(\theta-1)\sum \ln x_i[/mm] $
>
> Nach der logarithmierung kann ich aber wie oben erwähnt
> über monotonie vorgehen? oder habe ich einen
Wieso ist der Ausdruck monoton?
Und wie kommst Du oben dann drauf, daß das Minimum der Stichprobe der MLE ist?
ciao
Stefan
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