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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also ich sitze mal wieder an den mathe hausaufgaben die mich jedesmal zum verzweifeln bringen..
ich habe eine menge aufgaben bekommen weiß aberschon bei derersten nicht wie ich anfangen soll...
Der Graph einerganzrationalen Funktion 3ten grades hat in W(-1/-2) einen Wendepunkt und in H(-2/0) ein Maximum.
Bestimmen sie die gleichung der Funktion.
schon mal ganz lieben dank an alle die sich meinem hilferuf annehmen..
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Hallo,
also diese Art Aufgaben ist eigentlich nicht so schwierig.
Beginne doch einfach dir auseinander zu sortieren, was gegeben ist.
(nach diesem Schema gehen alle solche Aufgaben)
1. Funktion 3. Grades:
Die Funktion muss so aussehen: [mm] ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + cx + d
2. (-1/-2) ist Wendepunkt
a) f(-1) = -2 (wenn es ein Wendepunkt ist, muss der Graph ja durch diesen Punkt gehen)
b) f" (-1) = 0 (Kriterium fuer Wendepunkt!)
3. (-2/0) ist Maximum
a) f(-2) = 0 (der Punkt wird wieder vom Graphen eingenommen)
b) f' (-2)= 0 (Kriterium fuer Extrema)
Und jetzt musst du versuchen mit diesen Informationen a, b, c und d herauszufinden, und voila - du hast deinen Funktionsterm.
Dazu leitest du am besten die "Grundfunktion" fuer Funktionen 3. Grades zweimal ab.
f'(x) = [mm] 3ax^{2} [/mm] + 2bx + c
f"(x) = 6ax + 2b
und jetzt musst du nur noch einsetzen und aufloesen:
2.a) f(-1) = - a + b - c + d = -2
2.b) f"(-1) = - 6a + 2b = 0
3.a) f(-2) = - 8a + 4b - 2c +d = 0
3.b) f'(-2) = 12a - 4b + c = 0
jetzt musst du versuchen das moeglichst 'elegant' aufzuloesen.
Dazu beginnst du am besten mit der Gleichung, in der am wenigsten Parameter vorkommen:
2.b) -6a + 2b = 0
2b = 6a
b = 3a
einsetzten in die naechste Gleichung:
3.b) 12 a - 4*(3a) + c = 0
c = 0 erstes Ergebnis!
2.a) heisst nun:
f(-1) = - a + b + d = -2
oder f(-1) = -a + 3a + d = 2a + d = -2
3.a)heisst nun:
f(-2) = - 8a + 4b +d = 0
oder f(-2) = - 8a + 12a +d = 4a + d = 0
jetzt kannst du entweder 2.a) oder 3.a) nach a oder nach d aufloesen, und in die andere Gleichung einsetzen:
3.a) d= -4a
in 2.a): 2a - 4a = -2
-2a=-2
a=1 2. Ergebnis!
jetzt benutzt du deine erste Erkenntnis:
b= 3a
b= 3 3. Ergebnis!
so, und dann fehlt nur noch das d:
2.a) f(-1) = - a + b - c + d = -2
wird zu: f(-1) = -1 + 3 - 0 + d = -2
2+ d = -2
d = -4 4. Ergebnis!
Damit heisst deine Funktion:
f(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] 3x^{2} [/mm] - 4
Schau dir dieses Schema an, danach laufen alle diese Aufgaben. Sie sind etas zeitaufwendig, aber ich finde sie wie kleine Knobelspiele, wie Sudoku oder auch Kreuzwortraetsel 
Das schoene ist : diese Aufgaben kannst du wirklich ueben, sie sind immer gleich!
Liebe Gruesse,
Lemming
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Hallo Chantal,
Als erstes hast du die Information, dass es sich um eine Funktion 3.Grades handelt, d.h. du stellst zuerst die allgemeine Form einer solchen Funktion auf.
[mm] f(x)=a*x^{3}+b*x^{2}+c*x+d
[/mm]
Von dieser allgemeinen Funktion bildest du die 1. und 2. Ableitung. Das tust du deshalb weil wir wissen, dass wir einen Wendepunkt haben, die notwendige Bedingung dafuer ist f"(x)=0, und wir ein Maximum haben d.h. die notwendige Bed. ist f'(x)=0 jeweils an den angegebenen Stellen.
Wenn du jetzt die angegebenen Punkte in die Ableitungen der allgemeinen Ausgangsfunktion bzw. in die allgemeine Ausgangsfunktion selbst einsetzt, bekommst du 4 Gleichungen.
Jetzt kannst du dieses Lineare Gleichungssystem loesen indem du entweder durch geschicktes umformen der einzelnen Zeilen, dem Einsetzungsverfahren oder dem Gaussalgorithmus ran gehst.
Jetzt musst du nur noch deine Ergebnisse fuer a,b,c und d in die allgemeine Funktion einsetzten. Fertig!
Hoffe ich konnte dir helfen:)
Goldaffe
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