Erste Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 27.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | f(x) = exp(x exp(x sin(x)))
Erste Ableitung bestimmen (überall dort, wo die Funktion definiert und differenzierbar ist). |
Definiert und differenzierbar ist die Funktion für mich in ganz [mm] \IR. [/mm]
Denn: Exponentialfunktion und Sinus sind in ganz [mm] \IR [/mm] definiert und somit auch f(x). Da darüberhinaus f'(x) offensichtlich existiert und auch in ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist (lediglich sin, cos, exp kommen vor)...
Zur Ableitung: Kettenregel mit gelegentlich auftretender Produktregel.
f(x) = exp(x exp(x sin(x))) = u(v(w(x)))
f'(x) = (v(w(x)))' * u'(v(w(x))) = w'(x) * v'(w(x)) * u(v(w(x))) = (sin x + x cos x) * (exp(x sinx) + x exp(x sinx)) * exp(x exp(x sin x)) = (sin x + x cos x) (1+x)exp(x sinx)exp(x exp(x sinx))
Nun meine Frage: Sind meine Gedankengänge (oben) sowie meine Ableitung korrekt?
Danke im Voraus und nach-weihnachtliche Grüße,
Maraq
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Sa 27.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Überlegungen zum Definitionsbereich und zur Differenzierbarkeit sind okay.
Bei der Ableitung würde ich von innen nach aussen vorgehen.
[mm] f(x)=\green{e}^{\blue{x*e}^{\red{x*\sin(x)}}}
[/mm]
Die Ableitung von [mm] h(x):=\red{x*\sin(x)} [/mm] ist [mm] h'(x)=x*\cos(x)+\sin(x) [/mm] , das ist dann auch die innere Ableitung von [mm] e^{x*\sin(x)}
[/mm]
Also ist die Ableitung von
[mm] g(x):=\blue{x*e}^{x*\sin(x)}
[/mm]
[mm] g'(x)=e^{x*\sin(x)}+x*e^{x*\sin(x)}*(x*\cos(x)+\sin(x))
[/mm]
[mm] =e^{x*\sin(x)}*\left[x*(x*\cos(x)+\sin(x))\right]
[/mm]
[mm] =e^{x*\sin(x)}*\left[x²*\cos(x)+x*\sin(x)\right]
[/mm]
Und das wiederum ist die innere Ableitung von
[mm] f(x)=\green{e}^{x*e^{x*\sin(x)}}
[/mm]
Also: [mm] f'(x)=e^{x*e^{x*\sin(x)}}*e^{x*\sin(x)}*\left[x²*\cos(x)+x*\sin(x)\right]
[/mm]
In deiner Lösung ist glaube ich ein "Exp-Teil" zuviel
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Sa 27.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Hier noch einmal der Versuch, die Lösung übersichtlich zusammenzufassen:
f(x) = exp(x * exp( x * sin(x) ) )
= exp( u( v(x) ) )
v'(x) = sin(x) + x * cos (x)
u'(x) = x * exp( v(x) )
= exp( v(x) ) + x * exp( v(x) ) * v'(x)
= exp( v(x) ) * (1 + x* v'(x) )
f'(x) = exp(u(v(x))
= exp( v(x) ) (1 + x* v'(x) ) * exp(u(v(x))
= (1 + x sin(x) + [mm] x^2 [/mm] cos(x) ) * exp(x * sin(x)) * exp(x * exp( x * sin(x) ) )
Das sollte jetzt eigentlich korrekt sein. Danke. 
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