Ermitteln einer Tangentengleic < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermittel die Gleichung der Tangente an der Stelle x0=-1
f(x)=x*e^(-x) |
Ich habe mit dieser Formel gerechnet:
t(x)= f'(xo)*x +y0 -f'(x0)*x0
x0=-1
[mm] y0=-e^1
[/mm]
f'(x)=-x*e^(-x)
f'(x0)= [mm] e^1
[/mm]
t(x)=ex-e+e
Wir haben aber ein Kontrollergebnis bekommen: 2*e*x+e
Wo ist nur mein Fehler???
Lg Rebecca
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Fr 05.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hi Rebecca,
deine Ableitung stimmt leider nicht.
Du musst hier die Produktregel zum Ableiten verwenden, da sich die Funktion aus zwei verschiedenen von x abhängigen Funktionen zusammensetzt, nämlich x und [mm] e^{-x}.
[/mm]
Die Produktregel funktioniert so:
h(x) = f(x) * g(x)
h'(x) = f'(x)*g(x) + f(x) * g'(x)
In deinem Fall ist h deine Ausgangsfunktion, f(x)=x und [mm] g(x)=e^{-x}.
[/mm]
Nun einfach einsetzen. Du solltest als Ableitung
[mm] e^{-x} [/mm] * (1-x)
erhalten. Viel Erfolg 
LG djmatey
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Vielen, vielen Dank!!
Jetzt hat es auch gepasst..
LG
Rebecca
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Astor |
Die erste Ableitung ist wohl falsch.
Man muss die Produktregel anwenden.
ich empfehle immer eine Skizze. Das erspart oft eine Formel.
Für eine Tangentengleichung benötigt man im optimalen Fall einen Punkt und die Steigung. Der Punkt ist hier quasi gegeben. P(-1/ f(-1)). f(-1)=-1e^(-1).
Die Steigung der Tangente ist hier der Wert der 1. Ableitung der Funktion an der Stelle xo=-1.
Also: [mm]f(-1)=-1*e[/mm].
[mm]f'(x)=1*e^-1+x*(-1)*e^-1[/mm]
[mm]f'(x)=(1-x)*e^-x[/mm]
[mm]f'(-1)=2*e[/mm]
Die Tangentengleichung hat die Form: y=mx+b.
Also: [mm]y=2*e*x+b[/mm].
Setzt man den Punkt P(-1/-e) in die Tangentengleichung ein, so erhält man: [mm]y=2*e*x+e[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Astor |
bei der Berechnung von f(-1) habe ich mich im Text vertan. Es muss richt heißen: f(-1)=-e
Entschuldigung
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