Ermitteln der Hyperbelfunktion < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:57 Di 25.07.2006 | | Autor: | sn0opy22 |
| Aufgabe | Ermitteln sie die Funktionvorschrift zu den gegebenen Koordinaten:
x:
53,344
107,712
149,6
227,392
777,92
1427,184
2888,279
4519,416
5960,064
[06:39] SonIcco: y:
47,8
35,03
29,79
24,13
13,06
9,64
6,81
5,43
4,74
Die Werte entsprechen sich der Reihenfolge nach [53,..;47,..] usw. |
Hallo zusammen,
also im Rahmen eines kleinen Projekts bin ich auf obenstehende Fragestellung gestoßen. Ich bin mir nun nicht ganz sicher, wie ich vorgehen soll.
Also bei den Werten handelt es sich x:= den Abstand eines der neun Planeten des Sonnensystems zur Sonne und y:= seine Orbitalgeschwindigkeit
Der Reihenfolge nach von oben (Merkur) bis nach unten in der Tabelle (Pluto) ohne Xena :))
Im kartesischen Koordinatensystem ergeben die Werte nun eine Hyperbelfunktion mit x ungleich 0 .
Ich denk mir, die entsprechende Funktion dazu zu finden, kan nja nicht so schwer sein.
Mein Lösungsansatz wäre nun erstmal, eine Koordinatentransformation durchzuführen und das Koordinatensystem auf den Arbeitsbereich der Funktion 1/x oder des Kotangens anzupassen und so durch Verschiebung vielleicht schon eine Übereinstimmung zu finden. Nur das ist rechnerisch ungenau.
Da es sich um eine Kurve handelt, weiss ich auch nicht genau inwieweit ich jetzt überall den Tangens anlegen kann und halt die erste,zweite,dritte ... Ableitung darstelle um dann eventuell eine lineare aufintegrierbare Funktion zu erhalten.
Da hab ich Probleme vom geometrischen Aspekt her, wie leg ich jetzt den Tangens genau wo an in welche Richtungen und was liefert mir bei einer Kurve dann rechnerisch die Formel für die erste Ableitung / zweite Ableitung etc.
Ich danke euch für eure Ideen und Ansätze,
mit freundliczhen Grüßen Olli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Olli,
aufgrund einer Störung des Forums kann ich gerade keine "Antwort" posten, sondern nur eine "Mitteilung".
Wenn du einen Computer zu Hilfe nehmen kannst, dann ist es das einfachste, du approximierst die Punkte durch eine Kurve geeigneter Gestalt.
In deinem Fall genügt es vielleicht schon, eine Funktion der Form [mm]y = a x^b[/mm] anzunehmen. Du kannst dann den "Abstand" der Funktion von deinen Punkten in Abhängigkeit von a und b bestimmen und minimieren. Oder du probierst von Hand, bis du eine hinreichend genaue Approximation findest.
Ich habe händisch folgende Näherung gefunden:
[mm]y = 337 x^{-0.49}[/mm]
(EDIT: Typo korrigiert)
Gruß,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Di 25.07.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo SirJective!
> Ich habe händisch folgende Näherung gefunden: [mm]y = 337 x^{0.49}[/mm]
Hier hat sich aber ein kleiner Tippfehler eingeschlichen, oder? 
Das sollte doch eher $y \ = \ [mm] 337*x^{\red{-} 0.49} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{337}{x^{0.49}}$ [/mm] heißen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Di 25.07.2006 | | Autor: | SirJective |
Ja, danke. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Di 25.07.2006 | | Autor: | riwe |
oder du läßt excel für dich arbeiten -> diagramm -> trendlinie
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:31 Di 25.07.2006 | | Autor: | sn0opy22 |
Vielen Dank für eure Antworten. Der Tipp mit Excel ist besonders hilfreich für die Zukunft :). Ich hatte gestern schon einen Weg gesucht, dass über ein Programm zu lösen.
Nun aber trotzdem noch eine weitere Frage:
Du sagtest du hast die Funktion auch händisch berechnet. Mich würde nochmal interessieren, wie ich da genau heran gehen kann.
Mir ist über Nacht noch die Idee gekommen über eine Taylorreihe die Funktionsvorschrift zu ermitteln. Des Weiteren hab ich noch von einem Interpolationsverfahren gelesen, mit dem ich aber noch nicht vertraut bin.
Auf die Gefahr hin, dass diese Ideen jetzt zu kompliziert sind für die gegeben Werte aus der Aufgabenstellung:
Was könnt ihr allgemein empfehlen für das Herangehen and die Funktionsvorschriftsfindung. Ein rechnerischer Ansatz würd mich da nochmal sehr begeistern.
Ich bedanke mich für euer schnelles Feedback :))
Mit freundlichen Grüßen Olli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Di 25.07.2006 | | Autor: | sn0opy22 |
Ok, danke euch nochmal. Ich habs herausbekommen.
Ausgegangen von der Formel y= [mm] a*x^b [/mm] , kann man die Interpolation anwenden. Das heisst ich nehme z.B. den kleinsten Punkt x und sein f(x) sowie den größten x2 und sein f(x2).
Damit stell ich dann 2 Gleichungen auf, forme die erste um nach a und setze dann in die zweite ein um b zu erhalten. Dann bekomme ich die exakten Werte raus, die der Funktion entsprechen.
Mittels Taylorreihe kann ich meine Funktion dann noch genauer approximieren.
Ich belass es jetzt bei der Beschreibung, da ich es jetzt über ein Matheprogramm berechnet hab und das hat ziemlich viel Platz gebraucht *fg*.
Also ich bedank mich bei euch Allen
Frage beantwortet !!
Gruß ~Olli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Di 25.07.2006 | | Autor: | SirJective |
Im allgemeinen wird es nicht reichen, zwei Punkte herauszugreifen und mit denen die Parameter der Ansatzfunktion zu berechnen. Nämlich dann, wenn diese Punkte mit Fehlern behaftet sind, z.B. Messfehlern oder Rundungsfehlern.
Was du dann suchen solltest, ist eine Funktion, die "im Mittel" die vorgegebenen Punkte gut annähert. Da könntest du dir z.B. das "Kleinste Quadrate"-Verfahren von Gauß anschauen, ich weiß aber gerade nicht, ob das in deiner Situation anwendbar ist. Die grundlegende Idee ist aber diese: Du berechnest zu jeder Parameterkombination (hier die Werte von a und b) die "Güte" der Funktion, eine Art Abstand der Funktion zu den Punkten. Diesen Abstand minimierst du dann.
Von Hand ist das eine ewige Rechnerei, aber Computeralgebrasysteme (und mit Mehraufwand auch Excel) nehmen dir das Rechnen ab, so dass du nur noch die richtigen Formeln kennen musst.
Gruß,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Di 25.07.2006 | | Autor: | riwe |
nur eine bemerkung am rande:der aufwand in excel tendiert eher gegen null: das macht excel alles automatisch über "trendlinie anzeigen", siehe obige grafik
werner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Mi 26.07.2006 | | Autor: | sn0opy22 |
Verstehe. Ok vielen Dank euch allen für die Hilfe. Bezüglich Meßfehler leuchtet mir das ein, dann ist Excel wohl mit eine der besten Lösungen.
Thx,
Gruß ~sn0opy
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