Epsilonkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Do 28.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Beweisen Sie mithilfe des Epsilonkriteriums, dass die Folge
[mm] b_{n}:= \bruch{n^{3}+10n}{10n^{2}+n} [/mm] divergiert. |
Hallo,
Schon mal vielen Dank bisher. Ich weiß einfach nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Okay, zu allererst nehm ich an, die Folge hätte ein b als Grenzwert, und dann muss ich wohl irgendwie mein Epsilon geschickt wählen zu dem es ein N gibt, (wie auch immer man darauf dann kommt), und einen Widerspruch herstellen. Ich weiß einfach nich, wie ich die Sache konkret angehen soll, wäre schön wenn da nochmal jemand helfen könnte.
Viele Grüße
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Hallo,
schätze hier erneut geschickt ab:
[mm] $b_{n}:= \bruch{n^{3}+10n}{10n^{2}+n}\ge \frac{n^3}{10n^2}=\frac{1}{10}n$
[/mm]
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:20 Fr 29.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke, aber wie muss man dann Epsilon wählen bzw. wie erzeugt man den Widerspruch, das is mir vor allem unklar..?
Kann ich da [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{10} [/mm] wählen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Fr 29.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> Kann ich da [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{10}[/mm] wählen?
Nein, das darfst du nicht. Du musst fuer *jedes* [mm] \varepsilon [/mm] argumentieren, beispielsweise *auch* fuer [mm] $\varepsilon=10^{-1000}$.
[/mm]
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Fr 29.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Um die Divergenz der Folge zu zeigen kannst Du $ [mm] \varepsilon [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $ wählen:
Sei b [mm] \in \IR. [/mm] Annahme : [mm] (b_n) [/mm] konv. gegen b. dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $|b_n-b| [/mm] < 1/10$ für n > N
Mit der umgekehrten Dreiecksungl. folgt:
[mm] $b_n [/mm] -|b| = [mm] |b_n|-|b| \le |b_n-b| [/mm] < 1/10$ für n > N.
Also
[mm] $b_n [/mm] < 1/10 +|b|$ für n >N
Mit Patricks Abschätzung erhälst Du dann:
[mm] $\bruch{1}{10}n [/mm] < 1/10 +|b|$ für n >N
und damit
$n < 1 +10|b| $ für jedes n > N
Widerspruch
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Fr 29.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Vielen Dank für die zahlreichen Antworten, nur noch eine Frage zu deiner Antwort: Ist es richtig, dass wenn ich zeigen kann, dass n nach oben beschränkt ist, also in Abhängigkeit von b, so wie du es getan hast in Form von n <1+ 10|b| , ich damit bereits den Widerspruch erzeugt hab, dass die Folge konvergiert?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Fr 29.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja, ich habe angenommen, dass [mm] (b_n) [/mm] konvergiert. Diese Annahme hat dazu geführt, dass es ein c gibt mit
n <c für jedes n.
Dieser Widerspruch zeigt, dass [mm] (b_n) [/mm] divergiert.
FRED
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> Beweisen Sie mithilfe des Epsilonkriteriums, dass die Folge
> [mm]b_{n}:= \bruch{n^{3}+10n}{10n^{2}+n}[/mm] divergiert.
Hallo,
normalerweise würde man hier zeigen, daß die Folge [mm] (b_n) [/mm] bestimmt gegen [mm] \infty [/mm] divergiert.
Aber wenn's unbedingt mit [mm] \varepsilon [/mm] sein soll:
Erstmal stellen wir unbürokratisch fest, daß ein etwaiger Grenzwert [mm] A\ge [/mm] 0 wäre.
Angenommen, es gäbe also einen solchen.
Für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] findet man dann ein passendes [mm] N\in [/mm] N, so daß für alle n>N gilt
[mm] |b_n-A|<\varepsilon [/mm] <==> [mm] A-\varepsilon \le b_n \le A+\varepsilon [/mm]
Angenommen, es wäre A=0.
(Gelingt es mir nun, irgendein [mm] \varepsilon [/mm] aus dem Hut zu ziehen, für welches die obige Abschätzung nicht gilt, dann ist die Konvergenz widerlegt.)
Mit A=0 hätte hätte man [mm] -\varepsilon \le b_n \le +\varepsilon [/mm] ==> [mm] b_n \le +\varepsilon [/mm] für alle n, die größer als ein passendes N sind
Sei [mm] \varepsilon:=1.
[/mm]
Einer der Vorredner hatte festgestellt, daß [mm] 10n
Also [mm] 10n
Für sämtliche n>1 erhält man aber 10<10n<1. Widerspruch.
Also muß der Grenzwert, so vorhanden, größer als 0 sein. Untersuchen wir das:
Angenommen, es ist A>0 der Grenzwert von [mm] b_n.
[/mm]
Ich bin großzügig und wähle [mm] \varepsilon:= [/mm] A.
Man erhält, daß es ein N gibt, so daß für alle n>N gilt: [mm] 0=A-A\le b_n \le [/mm] A+A=2A ==> [mm] b_n \le [/mm] A+A=2A.
Zuvor wurde festgestellt, daß [mm] b_n>10n. [/mm] Also ist
10n [mm]
Für alle n>A gilt aber 10A<10n <2A . Widerspruch.
Wenn Du mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] Konvergenz beweisen willst, mußt Du zeigen, daß Du für jedes (!) [mm] \varepsilon [/mm] ein passendes N findest.
Wenn Du mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] die Konvergenz widerlegen willst, brauchst Du ein einziges [mm] \varepslion, [/mm] für welches das nicht gelingt.
Gruß v. Angela
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