Epsilon - Delta - Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Fr 22.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Hallo.
Zu meinem Problem gibts keine Aufgabenstellung. Ich treffe beim lernen ständig auf dieses [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium. Welche Bedeutung und welchen Sinn hat dieses Kriterium eigentlich? Kann mir das vllt mal jemand erklären, dass ich das auch check?! Wär super!
Wie muss man [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] immer wählen?
Eine Aufgabe ist z.B.
Die Funktion f:R->R genüge der Abschätzung |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] q|x-y| für alle x,y [mm] \in \IR, [/mm] q [mm] \in \IR_+.
[/mm]
Beweisen Sie, dass f stetig ist.
|
|
| |
|
> Hallo.
>
> Zu meinem Problem gibts keine Aufgabenstellung. Ich treffe
> beim lernen ständig auf dieses [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] -
> Kriterium. Welche Bedeutung und welchen Sinn hat dieses
> Kriterium eigentlich? Kann mir das vllt mal jemand
> erklären, dass ich das auch check?! Wär super!
>
> Wie muss man [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]\delta[/mm] immer wählen?
>
> Eine Aufgabe ist z.B.
>
> Die Funktion f:R->R genüge der Abschätzung |f(x)-f(y)|
> [mm]\le[/mm] q|x-y| für alle x,y [mm]\in \IR,[/mm] q [mm]\in \IR_+.[/mm]
> Beweisen Sie, dass f stetig ist.
Es geht also um die Überprüfung, ob eine Funktion
[mm] f:D\to\IR [/mm] (mit [mm] D\subset \IR) [/mm] an einer gewissen Stelle [mm] x_0 \in [/mm] D
stetig sei. Die Definition sagt: f ist stetig an
der Stelle [mm] x_0 [/mm] , falls sich der Funktionswert
f(x) nur minimal ändert, falls sich x nur wenig
von [mm] x_0 [/mm] entfernt.
An einem konkreten Beispiel ausgedrückt: von einer
Dusche erwarte ich, dass ich die Wassertemperatur
beliebig fein einstellen kann, wenn ich nur den Ein-
stellhebel genügend feinfühlig einstelle. Ich möchte
z.B. keine Überraschung der Art, dass die Temperatur
plötzlich von lauwarm auf eiskalt oder, noch schlimmer,
auf kochend heiß springt, obwohl ich den Hebel kaum
um den Bruchteil eines Millimeters gedreht habe.
Für die mathematische Beschreibung muss man den
intuitiven Begriff der Stetigkeit aber genauer fassen:
Im Beispiel wäre die Temperatur T des Wassers eine
Funktion der Hebelposition x, also T=f(x) .
Gibt man nun eine gewisse (beliebig kleine) positive
Toleranz [mm] \varepsilon [/mm] für den Funktionswert vor, so soll es
möglich sein, eine Toleranzschranke [mm] \delta [/mm] vorzugeben,
so dass [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] wird, wenn nur [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] ist.
Falls nun, wie in deinem Beispiel (ich schreibe jetzt
[mm] x_0 [/mm] anstelle von y) stets die Abschätzung
$\ [mm] |f(x)-f(x_0)|\ \le\ q*|x-x_0|$ [/mm]
gilt, ist es besonders einfach, zu einem vorgegebenen [mm] \varepsilon
[/mm]
ein passendes [mm] \delta [/mm] anzugeben, nämlich [mm] \delta:=q*\varepsilon [/mm] .
Haben wir nun nämlich ein x mit [mm] |x-x_0|<\varepsilon [/mm] , so folgt sofort
$\ [mm] |f(x)-f(x_0)|\ \le\ q*\underbrace{|x-x_0|}_{<\ \varepsilon}\ [/mm] <\ [mm] q*\varepsilon\ [/mm] =\ [mm] \delta$
[/mm]
Für den konkreten Umgang mit solchen Epsilon-Delta-
rechnungen schaust du am besten die Beispiele dazu
nochmal genau durch, die ihr schon hattet.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Sa 24.04.2010 | | Autor: | lubalu |
Hallo.
Ich hab das mit dem Kriterium immer noch nicht gecheckt. Jetzt bin ich wieder auf das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] ganz am Anfang bei dem Folgen gestoßen.
Es heißt hier:
Die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] heißt konvergent gegen a [mm] \in \IR [/mm] <=> Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] N\in \IN [/mm] (das i.A. von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt derart, dass [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Könnte mir jemand dieses Kriterium anschaulich erklären und mir sagen, was es mit [mm] \varepsilon [/mm] und N auf sich hat?
Ich habe das Kriterium zwar noch in keiner Aufgabe verwenden müssen und frag mich irgendwie, für was ich das überhaupt brauche, aber in der mdl Prüfung nächste Woche könnte es ja drankommen und dann sollte ich das schon gecheckt haben.
Grüße, Marina
|
|
|
| |
|
> Hallo.
>
> Ich hab das mit dem Kriterium immer noch nicht gecheckt.
> Jetzt bin ich wieder auf das [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm]
> ganz am Anfang bei dem Folgen gestoßen.
> Es heißt hier:
> Die Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] heißt konvergent gegen a [mm]\in \IR[/mm]
> <=> Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ein [mm]N\in \IN[/mm] (das i.A.
> von [mm]\varepsilon[/mm] abhängt derart, dass [mm]|a_n[/mm] - a| <
> [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N.
Dies hat hier aber nichts mehr mit dem [mm] \epsilon-\delta [/mm] Kriterium zu tun. Diese Definition ist nichts anderes als die Definition der Konvergenz einer Folge.
> Könnte mir jemand dieses Kriterium anschaulich erklären
> und mir sagen, was es mit [mm]\varepsilon[/mm] und N auf sich hat?
> Ich habe das Kriterium zwar noch in keiner Aufgabe
> verwenden müssen und frag mich irgendwie, für was ich das
> überhaupt brauche, aber in der mdl Prüfung nächste Woche
> könnte es ja drankommen und dann sollte ich das schon
> gecheckt haben.
Der Punkt ist folgender:
Nehmen wir die Folge [mm] a_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] . Es ist relativ offensichtlich (sag bescheid, wenn es das für dich nicht ist!), dass [mm] lim_{n\to\infinity}\bruch{1}{n}=0 [/mm] .
Wo kommt die Definition nun ins Spiel ?
Sie sagt anschaulich, dass du für eine noch so kleine Zahl [mm] \epsilon>0 [/mm] ein N finden kannst (was dann [mm] a_{N} [/mm] zugeordnet wird durch die Vorschrift [mm] a_n=\bruch{1}{n}) [/mm] so dass wenn [mm] n\ge [/mm] N ist [mm] \Rightarrow |a_n-a|<\epsilon [/mm] wird (a ist hier der grenzwert, also 0) mit anderen worten, dass der abstand zwischen der Folge und dem Grenzwert kleiner als [mm] \epsilon [/mm] ist.
Wählen wir z.B. [mm] \epsilon<0.1 [/mm] . Du möchtest also einen wert für N finden, so dass für jedes [mm] n\geN |a_n-a|=|a_n-0|=|a_n|<0.1 [/mm] ist . Nun [mm] \bruch{1}{N}=0.1 [/mm] für N=10 (offensichtlich ?), also ist [mm] |a_n|<0.1 [/mm] für n=11,12,... .
Da die Definition nun sagt [mm] \forall \epsilon>0 [/mm] heißt das, dass du das für jedes [mm] \epsilon [/mm] machen kannst, egal wie nah es an null dran ist.
Bringt das etwas Licht in die Angelegenheit?
Lg
> Grüße, Marina
>
|
|
|
| |
|
> Nehmen wir die Folge [mm]a_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] . Es ist relativ
> offensichtlich (sag bescheid, wenn es das für dich nicht
> ist!), dass [mm]lim_{n\to\infinity}\bruch{1}{n}=0[/mm] .
> Wo kommt die Definition nun ins Spiel ?
>
> Sie sagt anschaulich, dass du für eine noch so kleine Zahl
> [mm]\epsilon>0[/mm] ein N finden kannst (was dann [mm]a_{N}[/mm] zugeordnet
> wird durch die Vorschrift [mm]a_n=\bruch{1}{n})[/mm] so dass wenn
> [mm]n\ge[/mm] N ist [mm]\Rightarrow |a_n-a|<\epsilon[/mm] wird (a ist hier
> der grenzwert, also 0) mit anderen worten, dass der abstand
> zwischen der Folge und dem Grenzwert kleiner als [mm]\epsilon[/mm]
> ist.
>
> Wählen wir z.B. [mm]\epsilon<0.1[/mm] . Du möchtest also einen
> wert für N finden, so dass für jedes [mm]n\geN |a_n-a|=|a_n-0|=|a_n|<0.1[/mm]
> ist . Nun [mm]\bruch{1}{N}=0.1[/mm] für N=10 (offensichtlich ?),
> also ist [mm]|a_n|<0.1[/mm] für n=11,12,... . ***
>
> Da die Definition nun sagt [mm]\forall \epsilon>0[/mm] heißt das,
> dass du das für jedes [mm]\epsilon[/mm] machen kannst, egal wie nah
> es an null dran ist.
Hallo MontBlanc,
nur eine Anmerkung:
an der mit *** markierten Stelle verwendest du natürlich
(unausgesprochen) noch die Eigenschaft, dass die Folge der [mm] |a_n|
[/mm]
in diesem Beispiel monoton abnehmend ist, weswegen dann aus
[mm] |a_{10}|<0.1 [/mm] auch [mm] |a_{11}|<0.1 [/mm] , [mm] |a_{12}|<0.1 [/mm] , etc. folgt.
Natürlich liegt nicht bei allen konvergenten Folgen dieses
einfache Verhalten vor ...
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Hallo,
du hast natürlich recht. Ich habe auch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nur gewählt, weil es denke ich so ziemlich einfachste Beispiel ist um zu zeigen, was konvergenz bedeutet bzw. vorzuführen, wie die definition von konvergenz hier ins Spiel kommt.
Wie könnte man deinen Einwand dort noch mit einbringen ?
Lg
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> du hast natürlich recht. Ich habe auch [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nur
> gewählt, weil es denke ich so ziemlich einfachste Beispiel
> ist um zu zeigen, was konvergenz bedeutet bzw.
> vorzuführen, wie die definition von konvergenz hier ins
> Spiel kommt.
>
> Wie könnte man deinen Einwand dort noch mit einbringen ?
>
> Lg
Hallo MontBlanc,
es ist natürlich absolut in Ordnung, zu Anfang ein wirklich
einfaches Beispiel zu nehmen. Ich habe ja auch nur diese
kleine Anmerkung gemacht, um deutlich zu machen, dass in
anderen Fällen die Bestimmung des [mm] N(\varepsilon) [/mm] möglicherweise
nicht ganz so einfach ist ...
LG Al
|
|
|
|
