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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Do 04.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Hallo, wir hatten heute den Epsilon-Tensor und das Kreuzprodukt. Es bringt mich total durcheinander, wie ich mit dem Kreuzprodukt und dem Tensor in Summen rechne...
Wir haben die aufgabe zu zeigen, dass:
[mm] \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) [/mm] = [mm] \vec{b}(\vec{a}*\vec{c}) [/mm] - [mm] \vec{c}(\vec{a}*\vec{b})
[/mm]
Ich kenne mich mit den Rechenregeln im Kreuzprodukt und in den Summen noch nicht so richtig aus und hoffe, dass ihr mir sie erklären könnt...
Ich habe mal so angefangen:
[mm] \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) [/mm] = [mm] \summe_{h=1}^{3}(a_{h}\vec{e}_{h}) \times(\summe_{i,j,k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\vec{e}_{k}) [/mm] (so haben wir das Kreuzprodukt definiert und ich vermute mal, dass wenn man das alles einsetzt, man auf die bekannte Kreuzproduktformel kommt)
Wir sollen das ausdrücklich mit diesen Tensoren zeigen... Aber wie verknüpfe ich das jetzt weiter miteinander bzw. wie verbinde ich die zwei Summen? mir ist dann nicht ganz klar, wie sich die Indizes verhalten :(
vielen vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Fr 05.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, wir hatten heute den Epsilon-Tensor und das
> Kreuzprodukt. Es bringt mich total durcheinander, wie ich
> mit dem Kreuzprodukt und dem Tensor in Summen rechne...
>
> Wir haben die aufgabe zu zeigen, dass:
>
> [mm]\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})[/mm] =
> [mm]\vec{b}(\vec{a}*\vec{c})[/mm] - [mm]\vec{c}(\vec{a}*\vec{b})[/mm]
>
> Ich kenne mich mit den Rechenregeln im Kreuzprodukt und in
> den Summen noch nicht so richtig aus und hoffe, dass ihr
> mir sie erklären könnt...
>
> Ich habe mal so angefangen:
>
>
> [mm]\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \summe_{h=1}^{3}(a_{h}\vec{e}_{h}) \times(\summe_{i,j,k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\vec{e}_{k})[/mm]
Nicht ganz, denn in der zweiten Summe stehen die Komponenten [mm] $b_i$ [/mm] und [mm] $c_j$.
[/mm]
> (so haben wir das Kreuzprodukt definiert und ich vermute
> mal, dass wenn man das alles einsetzt, man auf die bekannte
> Kreuzproduktformel kommt)
>
> Wir sollen das ausdrücklich mit diesen Tensoren zeigen...
> Aber wie verknüpfe ich das jetzt weiter miteinander bzw.
> wie verbinde ich die zwei Summen? mir ist dann nicht ganz
> klar, wie sich die Indizes verhalten :(
Du hast ja nur das Kreuzprodukt in der zweiten Klammer mit dem Epsilontensor geschrieben. Mach es in zwei Schritten: Schreibe
[mm] \vec{d} = \vec{b} \times \vec{c} = \summe_{i,j,k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}b_{i}c_{j}\vec{e}_{k} [/mm],
oder komponentenweise: [mm] $d_k [/mm] = [mm] \summe_{i,j=1}^{3}\varepsilon_{ijk}b_{i}c_{j} [/mm] $.
Das erste Kreuzprodukt schreibst du ebenso, indem du erstmal [mm] $\vec{d}$ [/mm] einsetzt:
[mm] \vec{p} := \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a}\times \ved{d} = \summe_{l,m,k=1} \varepsilon_{lkm}a_{l}d_{k}\vec{e}_{m} [/mm],
oder: [mm] $p_m [/mm] = [mm] \summe_{l,k=1}^{3} \varepsilon_{lkm}a_{l}d_{k} [/mm] [/mm] .
hier kannst du die Komponenten [mm] $d_k$ [/mm] von oben einsetzen:
[mm] p_m =\summe_{l,k=1}^{3} \varepsilon_{lkm}a_{l} \summe_{i,j=1}^{3}\varepsilon_{ijk}b_{i}c_{j} = \summe_{i,j,k,l=1}^{3} \varepsilon_{lkm}\varepsilon_{ijk}a_{l}b_{i}c_{j} [/mm] .
Da der Index k nur bei den [mm] $\varepsilon$ [/mm] vorkommt, kannst du die Summe über i,j,l vorziehen:
[mm] p_m = \summe_{i,j,l=1}^{3} \left(\summe_{k=1}^{3}\varepsilon_{lkm}\varepsilon_{ijk}\right) a_{l}b_{i}c_{j} [/mm] .
Der Trick besteht nun darin, die innere Summe
[mm] \summe_{k=1}^{3}\varepsilon_{lkm}\varepsilon_{ijk} [/mm]
zu vereinfachen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Fr 05.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Hallo und danke schonmal!
Mir ist dieses hin- und herhantieren mit den Indizes nicht ganz klar, bzw. ich weiß nicht, was ich machen darf und was nicht. Z.b. diese Zeile von dir:
[mm] \vec{p} [/mm] := [mm] \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) [/mm] = [mm] \vec{a}\times \ved{d} [/mm] = [mm] \summe_{l,m,k=1} \varepsilon_{lkm}a_{l}d_{k}\vec{e}_{m}
[/mm]
Das ist ja jetzt eine Dreifachsumme mit l,m,k. Würde das gleiche rauskommen, wenn da steht m,k,l oder k,l,m?
Und warum hat dein Epsilon-Tensor eine andere Indize-Folge als die von dir beschriebene Summe?
Dann hast du das geschrieben:
[mm] d_k [/mm] = [mm] \summe_{i,j=1}^{3}\varepsilon_{ijk}b_{i}c_{j}
[/mm]
Ich verstehe nicht, warum man das einfach so machen kann. Wo ist der Einheitsvektor hin? man hat doch nun gar keinen vektor mehr...nur, weil bei dem d ein k steht?
Und dieses Substituieren... Wieso sind da plötzlich alle vier indizes bei einer Summe? Ich meine, müsste die Summe nicht in der Summe stehen? Wieso kannst du das alles einfach vorziehen?
Ich hoffe meine Probleme sind verständlich :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 05.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo und danke schonmal!
>
> Mir ist dieses hin- und herhantieren mit den Indizes nicht
> ganz klar, bzw. ich weiß nicht, was ich machen darf und
> was nicht. Z.b. diese Zeile von dir:
>
> [mm]\vec{p}[/mm] := [mm]\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})[/mm] =
> [mm]\vec{a}\times \ved{d}[/mm] = [mm]\summe_{l,m,k=1} \varepsilon_{lkm}a_{l}d_{k}\vec{e}_{m}[/mm]
>
> Das ist ja jetzt eine Dreifachsumme mit l,m,k. Würde das
> gleiche rauskommen, wenn da steht m,k,l oder k,l,m?
Du meinst unter dem Summenzeichen? Das ist ja eine endliche Summe, genauer gesagt mit 27 Summanden. Da ist die Reihenfolge völlig egal (Kommutativgesetz).
> Und warum hat dein Epsilon-Tensor eine andere Indize-Folge
> als die von dir beschriebene Summe?
Wieder wegen des Kommutativgesetzes: die Reihenfolge der Additionen ist egal. Die Reihenfolge der Indizes beim Epsilon-Tensor ist es nicht!
> Dann hast du das geschrieben:
> [mm]d_k[/mm] = [mm]\summe_{i,j=1}^{3}\varepsilon_{ijk}b_{i}c_{j}[/mm]
[mm] $d_k$ [/mm] ist die Komponente von [mm] $\vec{d}$, [/mm] die zum Einheitsvektor [mm] $\vec e_k$ [/mm] gehört: [mm] $d_k [/mm] = [mm] \vec{d}*\vec{e}_k$.
[/mm]
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> Ich verstehe nicht, warum man das einfach so machen kann.
> Wo ist der Einheitsvektor hin? man hat doch nun gar keinen
> vektor mehr...nur, weil bei dem d ein k steht?
Was ist denn für dich [mm] $b_i$? [/mm] Warum steht da kein [mm] $\vec e_i$ [/mm] dabei?
> Und dieses Substituieren... Wieso sind da plötzlich alle
> vier indizes bei einer Summe? Ich meine, müsste die Summe
> nicht in der Summe stehen? Wieso kannst du das alles
> einfach vorziehen?
Mach dir klar, was das [mm] $\Sigma$ [/mm] bedeutet: ein Abkürzung für eine Summe. Wofür es genau steht, bezeichnen die Indizes. Daher ist es egal, ob du
[mm] \summe_{i,j,k,l=1}^{3} [/mm] oder [mm] \summe_{i,j=1}^{3} \summe_{k,l=1}^{3} [/mm] oder [mm] \summe_{i=1}^{3} \summe_{j=1}^{3} \summe_{k=1}^{3} \summe_{l=1}^{3} [/mm]
schreibst.
Viele Grüße
Rainer
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